基于提升数学抽象素养的概念教学设计与实践
数学抽象作为六大核心素养之首，在数学知识的形成和应用中起着至关重要的作用．通过抽象，我们获得了数学概念，数学模型，数学方法，甚至更高层次的数学结构与体系，一切数学对象都可以看成数学抽象的结果．而数学模型、方法、结构等都可以看成在数学概念基础上进一步抽象的结果，因此概念教学是提升高中生数学抽象素养的重要环节．近日笔者在江苏省普通高中校长任职资格班跟岗培训活动中开了一节“平面向量的数量积”公开课，本节课让学生经历了数量积概念及性质的抽象过程，加深了学生对于概念本质的理解，现将本节课的教学过程和教学反思梳理如下．
1教学内容简析
《向量的数量积》为《普通高中教科书必修第二册》（人教版）第六章第二节第六课时．在此之前，学生已经学习了向量的三种线性运算：向量的加法、减法和数乘．这三种线性运算的研究都是从物理模型出发，抽象出数学概念，接着分别研究运算的相关性质、运算律及应用．本节课类比向量的三种线性运算的研究思路，引导学生从已有经验出发探究向量的数量积，让学生经历平面向量的数量积的概念及性质的抽象过程．
2教学过程
2.1复习旧知引入物理模型
问题1同学们，前面我们学习了向量的三种线性运算，请大家回顾一下，这三种线性运算的结果有什么共同的特征？我们研究这三种线性运算的一般思路又是什么？
生：向量的加法、减法和数乘三种线性运算的结果都是向量；对于这三种线性运算的研究都遵循着“物理模型——数学概念（运算的定义）——运算性质——运算律——应用”这一研究思路．
问题2我们知道向量与向量能够相加、相减，那么能不能相乘呢？类比前面的研究思路，请同学们尝试寻找矢量与矢量相乘的物理模型．
生：物理中的功等于力与力的方向上位移的乘积，而力与位移都是矢量（向量）．
师：这里严格来说应该是力和位移两个向量的模的乘积，如果将力和位移分别用F和s表示，则力F所做的功W=|F||s|．
问题3如果力F和物体位移s方向的夹角为θ．那么力F所做的功为多少？
生：将力F正交分解成物体位移方向上的分力F1和垂直于物体位移方向上的分力F2．因此力F所做的功W=|F1||s|=|F||s|cosθ．
设计意图：向量的数量积既是向量运算体系形成发展的内部需要，又具其物理背景．这里延续向量三种线性运算的研究思路，引导学生主动发现向量数量积的物理模型．
2.2逐级抽象生成数学概念
问题4请同学们从运算的对象和结果两个方面，总结“求功运算”的特点．
生：“求功运算”不同于前面所学的三种线性运算，具有如下特点：（1）功W是两个向量F和s的某种运算的结果，而且结果是一个数量；（2）功不仅与两个向量的大小有关，还与它们的方向有关．
问题5从“求功运算”中，可以抽象出怎样的数学运算？
生：将两个向量F和s抽象成a和b，力F和物体位移s方向的夹角θ抽象地看成a和b的夹角，这种新的运算实际上是从a，b得到数量|a||b|cosθ的运算．
师：我们把这种新的运算称为向量的数量积运算，运算的结果称为两个向量的数量积，求功运算就属于向量的数量积运算．事实上，向量的乘积运算除了数量积之外，还有一种向量积运算，这两种运算的定义最初是由Gibbs和Heaviside给出，前者的运算结果为数量，后者的运算结果依然为向量．现在同学们知道这里为什么叫数量积了吧．
问题6你能给向量的数量积下定义吗？
生：已知两个向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a和b的数量积（或内积），记做a·b，即a·b=|a||b|cosθ．
设计意图：引导学生从物理模型出发，舍去事物的物理属性，抽取其中的数量关系，从而抽象出向量的数量积运算．然而上述的定义并未交待向量夹角的相关规定，需要进一步地抽象，形成最终的定义．
問题7在上面的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，应该如何给“两个向量的夹角”下定义呢？
生：物理模型中的F和s是共起点的，而我们研究的向量都是自由向量，因此可以将两个向量平移至共起点，又cosθ=cos（2π－θ），可以将形成的［0，π］范围内的角看成两个向量的夹角．而我们并没有给出零向量方向的定义，所以两个向量的夹角应该定义在非零向量的基础上．
师：既然两个向量的夹角定义在非零向量的基础上，那么向量的数量积定义应该怎样修改呢？零向量的数量积又应该如何定义？
生：物理模型中的物体在垂直于物体位移方向上的分力F2，垂直方向上的位移为0，而F2对物体所做的功的大小为0，因此零向量与任意向量的数量积为0．
设计意图：进一步引导学生垂直重组已有知识，结合特殊的向量积运算（求功运算），抽象出向量夹角的概念，及对零向量数量积的规定．至此，抽象出了向量的数量积的完整定义．
向量的数量积定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|