6.2平面向量的运算（单元教学设计）
一、【单元目标】
（1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几
何意义。
（2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平
面共线的含义。
（3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
（4）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面
向量的数量积。
（5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。
（6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
学生已具备了一定的观察问题、分析问题的学习习惯，以及能从简单的物理背景及生活
背景中抽象出数学概念的能力，这些都是学生学习本单元的基础．
从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有
方向，在向量的线性运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．另外，向量的
运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算
可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的
区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏
于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．再有，向量的加法的定
义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接
触，在理解上会有一定的困难．
向量的每一种运算都具有二重性，既表现为过程操作，又表现为一种对象、结构．这对
学生整体理解每一种向量的运算也带来一定的困难．平面向量的加法具有丰富的物理背景，
平面向量的线性运算蕴含着特定的几何意义，学生们原有的物理学习、几何学习的差异性也
会直接影响他们对向量线性运算的学习．
两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角
定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量
垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．
向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显
的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量
而是数量，这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．
对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响。
四、【教学设计思路/过程】
课时安排：约6课时
第1课时：向量的加法运算；
第2课时：向量的减法运算
第3课时：向量的数乘运算；
第4课时：共线向量与向量数乘运算的关系；
第5课时：平面向量数量积的物理背景及其含义；
第6课时：平面向量数量积的运算律．
教学重点：向量加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，
向量数量积的概念与运算律。
教学难点：对向量加法运算法则与向量减法运算法则的理解，对向量数量积的概念及运算律
的理解，向量数量积的应用。
五、【教学问题诊断分析】
6.2.1向量的加法运算
引言：我们知道，实数有了运算，威力无穷．向量是否能像数一样进行运算呢？人们从
向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算．本节我们就来研究平面向量的
运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。
问题1：位移、力是向量，它们可以合成．我们看看能否从位移的合成、力的合成中得
到启发引进向量的运算．我们先来看一个与位移有关的问题。
如图1，某质点M从点A经过点B到点C，质点M的位移如何表示？
用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问
题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去。
【破解方法】这容易让我们想到向量可以这样作加法运算，点明本节课首先研究向量的加法
运算。启发学生由位移的合成引入向量的加法。
问题2：由位移的合成，你认为如何进行两个向量的加法运算？
【破解方法】学生借助位移的合成引入向量与向量之间的一种运算——向量的加法运算．教
师要关注全体学生对这个问题的理解，鼓励学生独立思考后，进行交流．最后，教师给出向
量加法的定义及向量加法的三角形法则．对于向量加法的三角形法则，教师要关注学生对它
的意义的理解，强调向量的和的方向。
问题3：对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：