抽象函数对称性的高三复习教学建议
徐兰徐倩
高三复习除了帮助学生建构知识网络，熟悉基本题型之外，笔者认为最重要的是通过高三课堂加深学生对数学知识的认知，理解数学知识之间内在的结构和关联，理解知识的本质，从而提高解决数学问题的关键能力.本文从抽象函数来谈谈如何整合学生已有的知识经验来提升学生对抽象函数性质的深刻理解.
一、夯实落脚点——深刻理解旧知
高三复习首先要熟悉基本知识，但是不能停留在对知识的重复记忆上.学生经历了两年高中数学的学习，对知识的理解与刚学新知时的认知已经不一样，所以教师在复习这些旧知时，要高屋建瓴，以问题解决的形式来唤醒学生对知识的记忆与理解.以抽象函数的性质复习为例，学生已经初步具备图像语言，数学符号语言的相互转换即从直观想象、逻辑推理到用数学的眼光观察世界，用数学的语言表达世界的能力.高三的课堂教学可以设计如下：
问题1函数的奇偶性有哪些刻画方式？（图像语言、文字语言、数学符号语言）
问题2谈谈对这三者之间的理解？
函数f（x）的图像关于原点对称，该函数为奇函数，数学符号表达为f（-x）=-f（x）.设p（x，y）为函数f（x）上任意一点，那么关于原点对称的点P（-x，-y）也在函数图像上，即y=f（x），∴-y=f（-x）=-f（x）.函数f（x）的图像关于y轴对称，该函数为偶函数，数学符号表达为f（-x）=f（x）.设p（x，y）为函f（x）数上任意一点，那么关于y轴对称的点p（-x，y）也在函数图像上，即y=f（-x），∴y=f（-x）=f（x）.函数的奇偶性统称为函数的对称性，奇函数和偶函数只是函数对称性中的一種特例.函数的对称性包含函数关于直线对称和关于点对称，我们这里只研究关于垂直于轴的直线对称.
二、由点连线——从旧知探新知
高三复习的目的是为了提高学生解决问题的能力，所以高三的课堂教学要能够从特殊到一般，寻找一般规律，从而提高学生的认知水平.函数的奇偶性就是对称性的特殊情况，从特殊推广到一般，加深学生对一般规律和数学知识本质的理解.
问题3函数关于直x=a线对称，对应的图像和数学符号该如何表达？
问题4函数关于点p（a，b）对称，对应的图像和数学符号该如何表达？
关于问题3：函数y=f（x）图像关于x=a对称，图像上任取一点p（x0，y0）关于直线x=a对称的点p1（2a-x0，y0）点仍旧在图像上，所以y0=f（x0）=f（2a-x0）.所以我们得到数学符号语言表示f（x）=f（2a-x）.如果取得点p（a-x，y），那么关于直线x=a对称的点p1（a+x，y）仍在图像上，所以f（a+x）=f（a-x），所以我们发现函数关于直线对称的数学符号语言是不唯一的，进一步探究发现只要两个点的横坐标之和为2a，纵坐标相等就满足要求.所以用数学符号语言来刻画可以有无数种，最具有代表性的是f（x）=f（2a-x）和f（a+x）=f（a-x）.反之也成立.用同样的思路来研究问题4：函数y=f（x）图像关于点p（a，b）对称，图像上任取一点Q（x0，y0）关于点p（a，b）对称点Q1（2a-x0，2b-y0）也在函数图像上，那么y0=f（x0），2b-y0=f（2a-x0），∴f（x0）+f（2a-x0）=2b.由此可见只要数学符号能够表达出这两个点的横坐标之和为2a，纵坐标之和为2b，都满足要求.比如f（a+x）+f（a-x）=2b.反之也成立.这部分的问题设计体现了从特殊到一般的研究方法，图像语言、数学符号语言、以及文字语言之间的相互理解与转换，从直观想象到逻辑推理，对学生提升理解函数的性质，应用性质解决问题起了很大的作用.
结论一如果函数关于直线x=a对称，则f（a+x）=f（a-x），反之也成立.
结论二如果函数关于点p（a，b）对称，则f（a+x）+f（a-x）=2b，反之也成立.
问题5你是怎样理解人教版教材必修第一册87页上的拓广探究题，即求函数f（x）=x3-3x2图像的对称中心.
人教版拓广探究题：我们知道，函数y=f（x）的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x）为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f（x）的图像关于点p（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y=f（x+a）-b为奇函数.（1）求函数f（x）=x3-3x2图像的对称中心；（2）类比上述推广结论，写出“函数y=f（x）的图像关于轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f（x）为偶函数“的一个推广结论.
理解一：应用图像平移变换来理解，若函数y=f（x+a）-b是奇函数，则关于原点对称，那么由y=f（x+a）-b右移a个单位，再上移b个单位，得到函数y=f（x），原来的对称中心（0，0）变成了新的对称中心（a，b），反之，同理成立；
理解二：函数y=f（x）的图像关于点p（a，b）成中