探索问题解决思路提升逻辑推理素养
逻辑推理是数学思维的基本方式之一，体现了建构和推演数学以及运用数学知识来解决问题的方法特征.［1］《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》将逻辑推理作为六大核心素养之一．逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流.［2］可见逻辑推理不同于解题思路，逻辑推理素养不仅仅是掌握问题解决中的推理形式与规则，更要求学生运用一定的推理方法和手段，从多角度分析问题、提出命题，探索问题解决思路及准确表述答题过程.
面对数学问题，很多学生常因其思路新颖、运算繁杂等特点而表现平平.表面上，学生是缺少解题方向，畏难心理严重，缺少克难毅力；实际上，学生是“算得多，想得少”，答题比较“莽撞”，缺少探索问题解决思路的理念与方法.本质上，学生是逻辑推理素养欠缺，在分析问题的过程中没有推理意识和方法，在比较复杂的条件中无法把握知识结构、不会合理地提出问题，在解决问题过程中缺少不断探索问题解决思路的高要求.
1试题与分析
例1（2022年北京市高中数学邀请赛）设a1，a2，…，a2022为2022个实数且a1+a2+…+a2022=π2，求|cosa1|+|cosa2|+…+|cosa2022|的最小值.
分析：本题为含有多个变量的最值问题，且表达式中有多个绝对值符号，高中学生平时较少接触，对学生的解题能力和学科素养要求较高.面对这个问题，很多学生是茫然不知所措、无从下手，因此如何分析问题、探索问题解决思路将是逻辑推理素养提升的关键.
2.“降维”思考，提出问题
华罗庚教授曾说“要善于退，足够地退，退到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍.”对于这个难度较大的问题，为探索解题思路并获得简便解法，我们不妨“退一步”，将变量从2022个降到两个，进行“降维”处理，在获得解答之后再研究解法所用知识和过程性结论的可拓展性，通过“升维”来完成例1的解答.
问题1已知α+β=π2，求|cosα|+|cosβ|的最小值.
解法1：（正余弦线）因为|cosα|+|cosβ|=|cosα|+cosπ2－α=|cosα|+|sinα|，结合角α的正余弦线（如图1），所以|cosα|+|cosβ|=|cosα|+|sinα|=|OM|+|MP|≥1，即|cosα|+|cosβ|的最小值为1，当α=π2，β=0可以取到最小值.
解法2：（构造函数）设α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2，则α1+β1=π2+（k1+k2）π.所以|cosα|+|cosβ|=|cosα1|+|cosβ1|=|cosα1|+cosπ2－α1=cos|α1|+sin|α1|=2sin|α1|+π4.考察函数f（x）=2sinx+π4，其中x∈0，π2〗，知x=0或π2时，f（x）取到最小值1.所以当α=π2，β=0时，|cosα|+|cosβ|的可以取到最小值为1.
解法3：（放缩法）因为|sin（α+β）|=|sinαcosβ+cosαsinβ|≤|sinα||cosβ|+|cosα|.|sinβ|≤|cosα|+|cosβ|，所以|cosα|+|cosβ|≥|sin（α+β）|=1，且当α=π2，β=0时可以取到等号.即|cosα|+|cosβ|的最小值为1.
解法4：（卡拉玛特不等式）设α1=α+k1π，β1=β+k2π，其中k1，k2∈Z，α1，β1∈－π2，π2〗，则|cosα|=|cosα1|，|cosβ|=|cosβ1|，α1+β1=π2+kπ，其中k=0或－1.不妨设α1≥β1，令c1=（1+k）π2，c2=kπ2，则c1+c2=α1+β1，c1≥c2，c1≥α1.
令f（x）=|cosx|，其中x∈－π2，π2〗，则f（x）是一个凹函数（上凸函数，如图2），由卡拉玛特不等式，得f（c1）+f（c2）≤f（α1）+f（β1），即|cosα1|+|cosβ1|≥1，所以|cosα|+|cosβ|≥1，且当α=π2，β=0时可以取到等号，即|cosα|+|cosβ|的最小值为1.
3.以退为进，探索解法
由上述解答可以看出，含有两个变量的最值问题1可以通过“几何意义、构造函数、放缩法、卡拉玛特不等式”等手段来解决.那么，增加变量的个数后，上述的解题方法还能适用吗？
问题2已知a1+a2+a3=π2，求|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|的最小值.
分析问题2，会发现当a1=a2=π2，a3=－π2时，|cosa1|+|cosa2|+|cosa3|=0，显然0为其最小值.因此研究问题2毫无意义.
注意到，例1中变量的个数是偶数（2022个）