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文档摘要

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探究推广一道椭圆定点问题

圆锥曲线试题中，随着点或线的运动，整个题目体系中有关的点、线、斜率、距离、面积等跟着变化起来，运动中的几何特征与数值的不变性是教学研究与考试命题的重要素材［1］.基于此，结合［2］的思考方法，本文对2023年9月重庆一中高三月考解析几何的定点问题进行探究，先对其一般情况下背景进行研究也有定点存在，后对其定点性质特征类比推广到双曲线与抛物线中.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）点T在直线l：x=2上运动，以T为圆心，TO为半径的圆与直线l交于M，N两点，直线AM交椭圆E于另一点P，直线AN交椭圆E于另一点Q.P、Q都不与顶点A重合.证明：直线PQ恒过定点.

2.背景探究

结论1中的直线l：x=a改为更一般的直线l：x=s后，进行推广探究，有以下结论.

3.类比推广

基于椭圆与双曲线知识体系的一致性，把椭圆置换为双曲线后有以下结论.

在抛物线中，以O代替椭圆中的A，寻找P、Q有如下结论.

结论5已知抛物线E：y2=2px（pgt;0），O为坐标原点，动点T在直线l：x=t上，以T为圆心，TO为半径的圆与直线l交于M，N两点，直线OM交E于点P，直线ON交E于点Q.P、Q都不与O重合，则直线PQ过定点（2p，0）.

结论5中直线l过坐标轴上除原点外任意点，直线PQ都定点（2p，0）.

若换一种方式寻找P、Q也有以下结论.

［1］晏炳刚，刘燕.圆锥曲线中一类斜率乘积为定值、动点轨迹为圆的优美性质［J］.中学数学研究（华南师大），2024（05）：34-36.

［2］姜敏华.一道双曲线定点问题的深度思考［J］.中学数学研究（江西师大），2022（10）：41-44.