解题需要重视寻找“切入点”
学习数学需要解题，而解题方向是否合理，解题过程的繁冗与简捷，往往在于解题“切入点”的选择.善于从题目所显示的或隐含的某些特点中寻找解题“切入点”，既能快速决策解题的方向，也能优化解题的过程，起到“四两拨千斤”的解题效果.本文从几个方面阐述寻找“切入点”的途径.
1从特殊数值寻找“切入点”
在数学题目中，往往出现具有某种特点的一些数值，这些数值对解题有着重要的导向作用.从这些特殊数值上展开联想，进而顺藤摸瓜寻找解题“切入点”，则能获取新颖、独到的解法.
例1（2007年全国初中数学联赛题）设x=12-1，a是x的小数部分，b是-x的小数部分，则a3+b3+3ab=.
分析：从特殊数值12-1寻找切入点.先分析出x与-x的范围，确定出a，b，推出a+b=1后运用立方和公式整体代入求解.
解：因为x=12-1=2+1，而22+13，所以a=x-2=2-1.
又因为-x=-2-1，而-3-2-1-2，所以b=-x-（-3）=2-2.
所以a+b=1.故a3+b3+3ab=（a+b）（a2+b2-ab）+3ab=a2+b2-ab+3ab=a2+b2+ab=（a+b）2=1.
2从图形背景寻找“切入点”
对于许多数量关系的题目，若挖掘并运用蕴含在题目中的图形背景，使得数量关系转换为直观图形来解决，从图形背景中寻找“切入点”，则解题思路直观、清晰.
例2（1987年全国初中数学联赛题）已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，那么a的取值范围是（）.
A.a-1B.a=-1
C.a≥1D.非上述答案
分析：本题若按常规方法来解，需要分为两个步骤来进行：①先设x为方程负根，推出a的范围；②根据方程没有正根求a的范围时，正难则反，先假设方程有一个正根x，得到a的范围后取其反面.进而综合后得到答案.所以
运用常规思路解答逻辑推理要求高，而利用图形背景，设出函数并作图象，借助图象化“数”为“形”，则求解直观、迅速.
解：如图1，在直角坐标系中作出两个函数y=|x|和y=ax+1的图象.
根据题意方程|x|=ax+1有一负根而没有正根，可知直线y=ax+1仅和折线y=|x|=x，x≥0，-x，x0在y轴左侧有一个交点，故结合图象分析可得a≥1.因此选C.
3从位置关系寻找“切入点”
许多与图形相关联的题目都具有一些特定的“位置”，从与众不同的位置关系中去寻找解题的“切入点”，可快速明确解题方向，利用解题.
例3（2022年荆门市中考题）如图2，函数y=x2-2x+3，x2，-34x+92，x≥2的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y=m（m为常数）相交于三个不同点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1
解析：由函数图象与直线y=m（m为常数）相交于三个不同点这一位置关系，可知y1=y2=y3=m（m为常数），代入并把所求式转化为t=x1+x2x3，所以t的取值范围即为三个不同点横坐标代数式的范围.根据题意可知y1=y2=y3=m（m为常数），因此t=x1y1+x2y2x3y3=x1+x2x3.
由y=x2-2x+3=（x-1）2+2（x2），可知抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，所以当x=1时，函数有最小值为2，且x1+x2=2×1=2.由y=-34x+92（x≥2）可知当x=2时，有最大值为3，且当y=2时，x=104，所以2
4从式子结构寻找“切入点”
许多题目中式子的结构具有“窗口”作用，善于对式子结构的观察、分析，从式子结构中寻找解题“切入点”，则解题往往做到事半功倍.
例4（2019年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2012-c2012）（a2012-d2012）=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，则（ab）2012-（cd）2012的值为（）.
A.-2012B.-2011C.2012D.2011
分析：由已知条件可知，a2012与b2012满足相同的结构形式，因此构造方程（x-c2012）（x-d2012）=2012，整理后利用韦达定理求解.
解：因为（a2012-c2012）（a2012-d2012=2012，（b2012-c2012）（b2012-d2012）=2012，所以a2012与b2012是方程（x-c2012）（x-d2012）=2012，即x2-（c2012+d2012+（cd）2012-2012=0的两根.根据韦达定理，得a2012·b2012=（cd）2012-2012，即（ab）2012=（cd）2012-2012，所以（ab）2012-（cd）2012=-2012.故选A.
5从整体关系寻找“切入点”
在解决一些题目中，若把某些具有一定关系的式子视为一个整体，以此