高中数学选择性必修课程函数主线分析
柳双吴立宝
函数是现代数学最基本的概念之一，是描述客观世界中变量关系和规律的利器，更是数形结合思想的重要载体，在解决实际问题中发挥关键作用.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（下文简称“课标”）在明确课程基本理念中强调突出数学主线，凸显数学的内在逻辑和思想方法.［1］高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程，课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模与数学探究活动四条主线.函数主线主要分布在必修与选择性必修课程中，包括必修课程的预备知识、函数的概念与性质、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、函数的应用，选择性必修课程的数列、一元函数导数及其应用.但选择性必修课程函数主线内容与必修课程函数主线内容在教材编排上处于分割状，数列、导数两个单元在教学过程中易与函数主线脱节，教师不重视其中的连贯性，学生难以将数列、导数与必修课程所学函数内容联系起来.基于此，本文深入挖掘函数主线，进一步联结必修与选择性必须课程内容，明晰选择性必修课程内容与整个函数主线的联系，同时以数列单元为例进行函数主线分析，充实选择性必修课程函数部分的案例分析研究.
一、函数主线结构
站在高中数学课程整体角度上来明晰函数主线结构，认识数学知识逻辑发展，挖掘其中渗透的数学思想方法，理解数学活动的设计编排意图，发展数学学科核心素养，这是教师整体规划函数教学不可或缺的一步.参照中学数学教学内容主线分析的结构，函数主线分为知识线、活动线、思想方法线、素养线.［2］知识线是教学的根源，活动线依附于知识线，将静态的数学知识转化为动态的数学活动，思想方法线与素养线是数学教学的内隐本质，跟随知识与活动连续进阶，最终发展学生数学学科核心素养.
从知识线分析函数，按照知识发生发展的过程，剖析函数内容的知识结构、逻辑关联、本质内涵，从宏观和微观两个角度入手，让学生的认识在整体形成与局部联系中逐步结构化并螺旋上升.宏观上用十字模型，将函数产生的背景、函数概念与性质、函数模型横向连接，将函数的应用、研究函数的工具（方法）与函数性质纵向连接.函数主线的主体部分由函数概念、函数表示和函数性质组成，因生活生产需要根据函数主体构建多种函数模型，在研究函数中需要借助其他主线知识作为工具，同时将函数主线应用到其他主线之中.微观上通过梳理高中数学课程中有关函数的知识点、思想方法等，寻找知识点之间的关联，总结其知识结构，最终确定宏观结构中每个部分的微观结构.函数概念从“刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具”（变量说）进一步抽象到“实数集合之间的对应关系”（对应关系说），在研究函数中需要借助代数运算作为基础工具、导数作为分析函数性质的工具，函数可以看作数形结合的载体之一，解析几何、平面向量几何也可以看成研究函数的工具，如图1.
站在教师教的角度来看，活动线是知识线的活动载体；站在学生学的角度来看，知识线是活动线的内容根基.基于此，函数主线的活动线主要体现在教材编排结构和教学设计上.教材中函数内容的发展主线由“函数定义—函数性质（奇偶性、单调性、最值）—基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）—函数的应用（解方程、建模）—三角函数—数列—一元函数的导数”展开，教师根据教材编排顺序，分析静态的知识线，优化教学设计，学生通过活动直接体验在“做”中感悟习得数学知识.函数主线中蕴含着重要的思想方法，函数图象与代数运算相结合的数形结合思想，证明数列简单命题的数学归纳法，在导数概念形成中体会极限思想，以及函数应用的二分法和模型思想等.数学学科核心素养的发展建立在数学知识的不断积累、数学活动的亲身经历、数学思想方法的感悟理解上，是数学教育的育人目标.在知识线和思想方法线的梳理中不难发现，函数主线的学习重点是提升数学抽象、数学建模、数学运算、直觀想象和逻辑推理素养.
二、选择性必修课程函数主线分析要点
梳理选择性必修课程函数主线分析需要附着的要点，确定分析角度、找准找全联结点、厘清单元微观结构，以期突破函数主线分析现有的围栏.
1.确定分析角度
对现行人民教育出版社A版（下文简称“人教A版”）与北京师范大学出版社（下文简称“北师大版”）选择性必修教材内容进行比较分析，对比两版教材的章前引入、数列概念、导数概念、数列性质等部分，明确不同版教材对于函数模型的学习以及应用的基本过程，把握核心重点，如表1，从中发现核心概念的获得过程、知识内部的推理发展，其中蕴含的思想方法，进而凸显的育人价值极为关键.延续函数主线“知识线、活动线、思想方法线与素养线”的四条准绳，可以归纳出选择性必修课程函数主线分析要从“知识主线核心概念、知识内部推理发展、数学思想方法渗透、知识文化价值体现和应用模型”五角度展开.
2.找准找全联结点
依据高中数学课程面向全体学生的理念，