教材寻法巧解真题
圆锥曲线问题是考查学生的数学运算和逻辑推理核心素养的重要抓手之一，在近几年高考及各地模拟考试中，此类问题因在求解过程中含多个变量，往往具有较大且复杂的运算量，让学生束手无策、望而生畏，是学生解题过程中的一个“痛”点.对于高考中的这一热点和难点，如果能根据已知条件，选择合适的直线参数方程，将会使得解题过程更为简洁、高效.本文先介绍直线参数方程的相关概念，再以2023年圆锥曲线高考题为例，运用直线参数方程对其进行探究，回归教材寻求突破之法.
1.直线参数方程的相关概念
如图1，若直线l经过点P0x0，y0，斜率为k，则直线l的点斜式方程为y－y0=kx－x0，其中k=tanα（α为直线的
倾斜角，α≠π2）.若将k=tanα代入点斜式方程，得到y－y0=sinαcosαx－x0，即x－x0cosα=y－y0sinα，设上式的比值为t，整理后得到直线l的参数方程x=x0+tcosα
y=y0+tsinα（t为参数），当α=π2时，上式也成立.其中，直线参数方程中t是指在直线上过定点P0x0，y0与直线上任意一点Px，y构成的有向线段P0P的数量，t的绝对值t就是点P0与点Px，y之间的距离.当点P在点P0上方时，t＞0；当点P在点P0下方时，t＜0.
一般地，若过定点P0x0，y0直线l与二次曲线相交于P1、P2两点，P1，P2对应参数分别为t1，t2，则根据参数方程中的t几何意义，有以下性质：
（1）P1P2=t1－t2，P0P+P1P=t1+t2，P0P+P1P=t1+t2；
（2）若P0在线段P1P2内，则t1t2＜0且PP1PP2=－t1t2；若P0在线段P1P2外，则t1t2＞0且PP1PP2=t1t2；
（3）P1P2的中点P的对应参数值tP=t1+t22，若P0是线段P1P2的中点，则t1+t2=0，反之亦然；
（4）若点P分线段P1P2所成的比为λ，则点P对应的参数值tP=t1+λt21+λ.
根据上述性质，当直线与圆锥曲线相交时，灵活运用参数t的几何意义，可优化解题过程、减少计算量.需要特别注意的是，由于直线的倾斜角α的范围为0，π，因此经过点P0x0，y0，倾斜角为α的“標准形式”的参数方程x=x0+at，
y=y0+bt需满足三个条件：①－1＜a≤1；②0≤b≤1；③a2+b2=1.
2.直线参数方程在圆锥曲线中的应用
例1（2023年全国数学理科甲卷第20题）已知直线x－2y+1=0与抛物线C：y2=2px（p＞0），交于A，B两点，AB=415.（1）求p；（2）
设F为C的焦点，M，N为C上两点，MF·NF=0，求ΔMNF面积的最小值.
解：（1）易得p=2.
（2）如图2，设直线MF的参数方程为x=1+tcosα，
y=tsinα（t为参数），点M，N对应参数分别为t1，t2，则M（1+t1cosα，t1sinα），N（1－t2sinα，t2cosα），因为点M在抛物线y2=4x上，所以sin2α·t21－4cosα·t1－4=0，解得t1=21－cosα，同理t2=21+sinα，根据参数t的几何意义，MF=t1，NF=t2，从而ΔMNF面积S=12t1t2=21－cosα1+sinα.由基本不等式，（1－cosα）（1+sinα）≤2+sinα－cosα22=2+2sinα－π424=3+222，当且仅当sinα－π4=1，即α=3π4时取得最大值，所以S=21－cosα1+sinα≥43+22=12－82.
点评：该题推陈出新，以求三角形的面积为背景，融合函数、不等式和圆锥曲线性质等知识，主要存在两个难点：①合理引入参数；②用其表示三角形的面积.与引入点参或线参等方法相比，根据参数t的几何意义可以直接得到三角形两条直角边MF与NF的表达式，从而巧妙化解本题的难点——三角形的面积的表示问题.
例2（2023年全国Ⅰ卷第22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点0，12的距离，记动点P的轨迹为W．（1）求W的方程；（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33．
解：（1）易得W的方程为y=x2+14.
（2）如图3，不失一般性，将W向下平移14个单位，设Ax0，x20，直线AB的参数方程为x=x0+tcosα，
y=x20+tsinα
（t为参数），点A，B对应参数分别为t1，t2，将直线AB的方程代入W的方程y=x2中，得到cos2α·t2+2x0cosα－sinα·t=0，则t2=sinα－2x0cosαcos2α，且判别式Δ=2x0cosα－sinα2＞0，即2x0≠tanα，根据参数t的几何意义，AB=t1－t2=sinα－2x0cosαcos2α.因为ABCD是矩形，所以直线AD的倾斜角为α+π2，故AD=cosα+2x0