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文档摘要

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一道市级联考题的解法探究与推广

近期笔者在解题教学时遇到一道市级联考题，考查了双曲线的几何性质，也考查了分析问题，解决问题的能力尤其是运算求解能力，本文现对其解法进行探究，并给出一般性的结论．

（1）求双曲线C的方程；

（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D．设直线MB，MD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．

1．推广探究

评注：上述证明方法思路自然，逻辑顺畅，利用设而不求和韦达定理策略处理斜率之积为定值问题，但是运算量大，学生不易算到最后结果．

评注：此方法看似繁琐，实质有多次运用同构思想简化运算，利用二次函数的对称性得到斜率关系，相比证法一减少了很多运算量．而且有一个意外收获，即kBN＝kMD，因此可知BN∥MD，由此可得命题2．

2．类比探究

椭圆与双曲线有很多相似的性质，于是考虑椭圆是否也具有相似的结论呢［1］？经探究，可得如下命题：

以t＝kMD，即kBN＝kMD，所以BN∥MD．

评注：注意到点P是椭圆在点M处切线上的一点，由此考虑将命题3推广到更加一般性的情况，得到如下命题．

如图3，利用GeoGebra软件，不难验证结论是正确的．命题4的证明方法类似命题3，因运算较繁琐，本文不再赘述，有兴趣的读者可以自行完成．

“数学是思维的体操”，在数学学习中，要不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、演绎证明、反思与构建等思维过程.圆锥曲线的定值问题的研究无穷无尽，需要师生坚持不懈地探索与反思，这样才会在学习中提升数学品质和数学素养.

［1］何雪冰.学会“选择”绽放“精彩”——一道高考题的教学反思［J］.中学数学教学，2020（04）：73-74.

［2］王中学，蔡忠芬.追根溯源求本质反思感悟探新知［J］.数学通讯，2021（04）：34-36+38.