一道高考解析几何题的解法探究及其推广
圆锥曲线中的定点问题作为高考中的常见题型，考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养.这类题型不仅要求学生能够熟练掌握解决此类问题的基本思想与方法，还需要挖掘简化运算的突破口，提高运算的速度和准确性.本文从不同角度研究2023年高考数学全国乙卷理科第20题的解题思路，并对其结论进行推广.
1.试题呈现
已知椭圆C：y2a2+x2b2=1ab0的离心率为53，点A－2，0在C上.
（1）求C的方程；（y29+x24=1）
（2）过点－2，3的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点.
本题考查了解析几何的基本思想和方法，对学生的运算能力要求很高，并且有很好的区分度，其中第（2）问许多精巧的方法和精妙的性质值得深入思考.
2.解法探究
视角1?直线串联设而不求
思路1?设直线PQ的方程，进而可求点M，N的坐标，结合韦达定理验证yM+yN2为定值即可.
解法1：设Px1，y1，Qx2，y2，直线PQ：y=kx+2+3，代入椭圆方程得4k2+9x2+8k2k+3x+16k2+3k=0，则x1+x2=－8k2k+34k2+9，x1x2=16k2+3k4k2+9，直线AP：y=y1x1+2x+2，当x=0时，y=2y1x1+2，得M0，2y1x1+2，同理N0，2y2x2+2，则yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2=kx1+2+3x1+2+kx2+2+3x2+2=kx1+2k+3x2+2+kx2+2k+3x1+2x1+2x2+2=2kx1x2+4k+3x1+x2+42k+3x1x2+2x1+x2+4=32kk2+3k4k2+9－8k4k+32k+34k2+9+42k+316k2+3k4k2+9－16k2k+34k2+9+4=10836=3，故线段MN的中点为定点0，3.
思路2?利用平移思想，简化运算，优化解法1.
解法2：设Px1，y1，Qx2，y2，直线PQ：y=kx+2+3，代入椭圆方程得4k2+9x+22+24k－36x+2+36=0，则x1+2+x2+2=36－24k4k2+9，x1+2x2+2=364k2+9，直线AP：y=y1x1+2x+2，当x=0时，y=2y1x1+2，得M0，2y1x1+2，同理N0，2y2x2+2，则yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2=2k+3x1+2+x2+2x1+2x2+2=2k+3×36－24k4k2+9364k2+9=3，故线段MN的中点为定点0，3.
思路3?利用齐次化思想，简化运算，优化解法1.
解法3：设Px1，y1，Qx2，y2，直线AP：y=y1x1+2x+2，当x=0时，y=2y1x1+2，得M0，2y1x1+2，同理N0，2y2x2+2，设直线PQ：y=kx+2+3，即y－kx+23=1，代入椭圆方程得y29+x+2－2×y－kx+2324=y－kx+232，化简整理得19yx+22－13yx+2+k3+14=0，则yM+yN2=y1x1+2+y2x2+2=3.故线段MN的中点为定点0，3.
视角2?构造同构二次韦达
思路4?设直线AM：x=t1y－2，AN：x=t2y－2，则M0，2t1，N0，2t2，MN的中点0，1t1+1t2，只需证明1t1+1t2为定值.
解法4：设直线PQ：y=kx+2+3，AM：x=t1y－2，AN：x=t2y－2，则M0，2t1，N0，2t2，MN的中点0，1t1+1t2，联立y=kx+2+3，
x=t1y－2得x=3+2kt1－21－kt1，y=31－kt1，代入椭圆方程得34k+3t12-12t1?+4=0，同理t2也满足此方程，则t1+t2=44k+3，
t1t2=434k+3，1t1+1t2=t1+t2t1t2=3，故线段MN的中点为定点0，3.
思路5?先由T，P，Q三点共线设出M，N，再由点在椭圆上可得yM+yN=6.
解法5：设TP=λ1，k，TQ=μ1，k，则Pλ－2，λk+3，直线AM：y=λk+3λx+2，M0，2λk+3λ，同理N0，2μk+3μ，则MN中点K0，2k+3λ+3μ，由于P在椭圆上，故4k2+9λ2－123－2kλ+36=0，同理μ也满足此方程，则λ+μ=123－2k4k2+9，λμ=364k2+9，2k+3λ+3μ=2k+3λ+μλμ=3，故线段MN的中点为定点0，3.
视角3?三点共线曲径通幽
思路6?设M0，m，N0，n，用m，n分别表示P，Q的坐标，再由T，P，Q三点共线可得m+n=6.
解法6：设M0，m，N0，n，直线AM：y=m2x+m，代入椭圆方程可得
xP=29－m29+m2，yP=18m9+m2，则TP=369+m2，－3m－329+m2，同理TQ=369