近三年新高考Ⅰ卷立几题的特征演变及教学响应
摘要高中数学立体几何是高考的重要考点.本文基于2022年至2024年的新高考Ⅰ卷中的立体几何题目，探究立体几何考查特征的演变，并得出三点教学响应措施.
关键词高考数学；立体几何；教学响应
一、基于空间几何构型与多角度综合考查
（2022年新高考Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3≤l≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是（）.
A.18，814B.274，814C.274，643D.［18，27］
详解如图1，由题意可知：球的半径R=3，设正四棱锥的底面边长AB=a，高SO=h，则l2=22a2+h2，9=h－32+22a2，h=l26，a2=36l2－l418，所以，正四棱锥的体积V=13Sh=1324（36l4－l6），求导得V′=154l3（24－l2）.令V′gt;0，得3≤llt;26，图1所以，当l∈［3，26）时，V单调递增；令V′lt;0，得26lt;l≤33，所以，当l∈（26，33］时，V单调递减.所以，当l=26时，Vmax=643，当l=3时，V=274，当l=33时，V=814，所以Vmin=274，所以该正四锥体积的取值范围是274，643.故选C.
试题特征2022年新高考Ⅰ卷中的立体几何试题注重几何构型的综合考查，涉及多种空间关系的分析，尤其是正四棱锥的体积和球的体积之间的联系，考查了考生对立体几何图形的直观理解、几何量的计算能力以及数形结合思想的运用.该题通过已知正四棱锥的侧棱长及其顶点均位于同一球面上这一特殊条件，要求考生计算正四棱锥的体积取值范围，考查了对几何体体积公式的熟练掌握.考生需要将球体体积公式与正四棱锥体积公式进行结合，并对侧棱长进行合理的取值分析.这类题目要求考生具备灵活应用基本几何公式的能力，精准理解几何图形的特殊位置关系，并且能够通过数形结合的方式解决复杂问题.
二、从空间位置关系到空间角度的深化考查
（2023年新高考Ⅰ卷）如图2，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.点A2，B2，C2，D2，分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3．
1证明：B2C2∥A2D2；
2点P在棱BB1上，当二面角P－A2C2－D2为150°时，求B2P．
证明1如图3，作A2E⊥BB1于点E，D2F⊥CC1于点F，则有A2E∥D2F，A2E=D2F，即四边形A2EFD2是平行四边形，从而A2D2∥EF，又B2E∥C2F，B2E=C2F=1，即四边形B2EFC2是平行四边形，从而B2C2∥EF，从而B2C2∥A2D2，得证．
2如图4，以点B为原点，以BC、BA、BB1分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．设P（0，0，t），C2（2，0，3），A2（0，2，1），D2（2，2，2），A2D2=（2，0，1），A2C2=（2，－2，2），A2P=（0，－2，t－1），设平面A2C2D2的一个法向量为m→=x1，y1，z1，则m→·A2D2=0，m→·A2C2=0，即2x1+z1=0，2x1－2y1+2z1=0.令z1=－2，则x1=1，y1=－1，故m→=（1，－1，－2）.设平面PA2C2的一个法向量为n→=x2，y2，z2，则n→·A2P=0，n→·A2C2=0，即－2y2+（t－1）z2=0，2x2－2y2+2z2=0，令z2=2，则x2=t－3，y2=t－1，故n→=（t－3，t－1，2），由于二面角P－A2C2－D2的平面角为150°，所以cos＜m→，n→＞=m→·n→m→·n→=66·（t－3）2+（t－1）2+4=32，解得t=1或3，则B2P=1．
特征演变2023年新高考Ⅰ卷中的立体几何试题相较于2022年有了明显的演变，考查的重点从几何体积与构型的简单计算逐步过渡到更加复杂的空间位置关系与角度分析.题目通过正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的几何模型，设定了不同的点在棱上的位置关系，要求考生先证明直线间的平行性，再进一步探讨二面角的计算.这类题目不仅要求考生掌握基本的几何构型特征，还涉及了对空间中点、线、面的关系进行更细致的分析.尤其是第二问中，涉及二面角的求解，要求考生能够对空间中的角度进行准确计算，体现了对考生空间思维能力和立体几何中角度问题的深层次考查.与2022年以几何体积和几何构型为主的题型相比，2023年的题目更多地强调了几何中的位置关系和角度分析，尤其是对于二面角的理解.这种演变更加强调了立体几何中多角度、多层次的解题思路，展现了题型的综合性和复杂性提升.
三、从基本空间关系到复杂几何构型和角度考查的深化
（2024年新高考Ⅰ卷）如图5，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA