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河北省冀州中学2025届高考保温数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，若集合有且仅有个元素，则实数的取值范围为（????）
A． B． C． D．
2．已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（????）
A． B． C． D．5
3．已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于，则该圆锥的体积为（????）
A． B． C． D．
4．数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
5．已知直线与圆交于A，B两点，且为直角三角形，则的值为（???）
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递增，且其图象关于点对称，则（???）
A． B． C． D．
7．已知在四棱锥中，平面，，，为等边三角形，则平面与三棱锥的外接球球面的交线长为（????）
A． B． C． D．
8．函数的阶导就是对函数求次导数，记作，设函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列选项正确的是（???）
A．设是随机变量，若，则
B．已知某组数据分别为1，2，3，5，6，6，7，9，则这组数据的上四分位数为6
C．二项式展开式中的常数项为
D．设是随机变量，若，则
10．已知向量，则下列命题正确的是（???）
A．若，则 B．若，则
C．是与共线的单位向量，则 D．取得最大值时，
11．已知的顶点均在抛物线上，且的重心为抛物线的焦点.若，则（????）
A．
B．的周长小于72
C．的三个顶点到轴的距离之和为36
D．上一动点到直线的距离的最小值为
三、填空题
12．已知的面积为，，，则.
13．已知函数，为奇函数，则．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在C上且在第二象限，，点Q在的平分线上，满足且（O为坐标原点），则C的离心率为.
四、解答题
15．已知数列满足，，记，
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.
16．某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“○”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示．从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画○的球”．
红球
蓝球
画○
画×
(1)求和．
(2)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项，等级从高到低依次为：颜色和符号均相同为一等奖；仅颜色相同或仅符号相同为二等奖；颜色和符号均不相同为三等奖．
（ⅰ）以“结果发生的可能性越小，奖项等级越高”为标准，请你判断该奖项设置是否合理；
（ⅱ）若按（ⅰ）中的标准对上述三种结果重新设置奖项，并且一等奖奖励元，二等奖奖励元，三等奖奖励元，要使一次抽奖的奖金期望值不超过元，则的最大值为多少？
17．如图，梯形中，，，为的中点，将沿边折起，使点C到达点P的位置.
(1)证明：；
(2)若二面角的大小为120°，求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，函数有两个极值点，（）.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）当，满足时，求实数a的最大值.
19．已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为，点在上.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线于，两点.
（ⅰ）若与的渐近线交于点，，且（是坐标原点），求的方程；
（ⅱ）记，若点满足，求点的轨迹方程.
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《河北省冀州中学2025届高考保温数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
C
D
C
C
B
C
AC
ABD
题号
11
答案
ABD
1．B
【解析】根据集合有且仅有个元素，求得即可.
【详解】已知：集合，
因为集合有且仅有个元素，
所以，
所以，
故选：B.
2．B
【分析】由复数是关于x的方程的一个根，可得另一个根为，用韦达定理和模长公式即可得到结果.
【详解】因为复数是关于x的方程的一个根，
则另一个根为，由韦达定理得：，即：，
故，
故选