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河北省金科大联考2025届高三5月质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则（???）
A．i B． C． D．
2．设集合，，若，则（???）
A．-1 B．0 C．1 D．e
3．记为等差数列的前n项和，若，则数列的公差为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知圆A的圆心为，且圆A截x轴所得的弦长为6，则圆A的半径为（???）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．若平面向量，，满足，，，则（???）
A． B． C． D．
6．若函数是定义域为R且周期为3的奇函数，且，则（???）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知，均为锐角，为钝角，若，则的最大值为（???）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下焦点分别为，点P在x轴上，若的内切圆的圆心为，且，则的离心率为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知某区域的水源指标x与某种植物的分布数量y之间的数据如下表所示，则（???）
x
10
20
30
40
50
y
23
45
60
78
94
附：相关系数
A．y与x的相关系数为正数
B．y与x的回归直线经过点
C．删去数据后，y与x的相关系数变小
D．增加数据后，y与x的相关系数不变
10．已知函数的图像关于直线对称，则（???）
A．在上有3个零点 B．在上有3个极值点
C．的图像关于点对称 D．的图像关于直线对称
11．已知函数，则（???）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
三、填空题
12．已知随机变量X服从标准正态分布，若，则．
13．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，若，则的周长为．
14．在三棱锥中，，点在平面上的投影是的垂心，平面，若，则三棱锥的体积的最大值为．
四、解答题
15．已知函数的定义域和值域相同．．
(1)求a；
(2)记的导函数为，求的极小值．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)点，分别在线段，上，且，当平面与平面的夹角为时，求的长.
17．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)若，求A；
(2)若a，b，c成等差数列，，求的面积．
18．甲乙二人进行乒乓球比赛，已知单局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果相互独立．规定比赛中首次连胜两局的一方最终胜出，比赛结束．
(1)若，求在第六局比赛结束后，甲最终胜出的概率；
(2)求第局比赛结束后，甲最终胜出的概率；
(3)求整局比赛中，甲最终胜出的概率．
附：当0q1且n无穷大时，．
19．已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上的2n个点（在x轴上方，在x轴下方）满足：直线经过点F，且斜率为1，当时，，，记线段的中点为，直线与直线的交点为．
(1)求点的纵坐标；
(2)证明：三点共线；
(3)证明；当时，，并求．
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《河北省金科大联考2025届高三5月质量检测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
C
B
B
A
ABD
BC
题号
11
答案
ACD
1．A
【分析】由复数的除法的运算法则化简，即可由共轭的定义求解.
【详解】由可得，所以，故，故，
故选：A
2．C
【分析】根据集合相等的定义，即可求解.
【详解】由可知，，解得，满足条件.
故选：C
3．D
【分析】根据可得，即可求解公差.
【详解】由于是等差数列，且，故，故，
所以公差为，
故选：D
4．A
【分析】根据圆心到弦的距离、半径、半弦长之间的关系求解.
【详解】由圆心坐标可知，圆心到弦的距离为，
又弦长为，所以圆的半径，
故选：A
5．C
【分析】移项得，再同平方即可得到，再计算即可.
【详解】由可得，即，，
代入，，可得，，故.
故选：C.
6．B
【分析】根据函数为奇函数与周期性分别求解的值，再结合周期性可得所求.
【详解】因为函数是定义域为R且周期为3的奇函数，
则，，，
所以.
故选：B.
7．B
【分析】根据正弦和差角公式以及弦切互化可得，即可利用正切的和角公式，结合基本不等式求解.
【详解】由可得，
由于，均为锐角，故，
同