一道解析几何试题的解法与推广
2023年3月江苏省八市和浙江省9+1联盟学校2023届高三第二次调研测试的第21题是一道颇具探究价值的优质试题，本文在对该题进行解答的基础上，对试题进行推广探究，进而得到相应的结论.
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1的离心率为22，焦距为2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A，B两点，与直线x=-2相交于点M.
（1）若M（-2，-1），求证：|MA|·|BF|=|MB|·|AF|；
（2）过点F的直线l的垂线m与E相交于C，D两点，与直线x=-2相交于点N，求1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值.
分析1：由题意设出直线l的方程，与E的方程联立，消元、整理得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理整体代入、“设而不求”求解.
解法1：（1）设E的焦距为2c（0
令A（x1，y1），B（x2，y2），由x22+y2=1，y=x+1得3x2+4x=0.
下面从三个视角进行等式证明.
证法1：由3x2+4x=0，解得x=-43或x=0.
不妨设x1=-43，x2=0，所以A（-43，-13），B（0，1）.
因此|MA|·|BF|=（-43+2）2+（-13+1）2·（-1-0）2+（0-1）2=223×2=43，|MB|·|AF|=（0+2）2+（2+1）2·（-1+43）2+（0+43）2=22×23=43.
从而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.
证法2：同证法1知A（-43，-13），B（0，1）.
因此|MA|·|BF|=2|x1-（-2）|·2|-1-x2|=2|x1+2|·|x2+1|=2×|0+2|·|-43+1|=43；同理|MB|·|AF|=2|x1+1|·|x2+2|=2×|-43+1|·|0+2|=43.
从而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.
证法3：由3x2+4x=0，得x1+x2=-43，x1x2=0.
因此|MA|·|BF|=2|x1+2|·|x2+1|=2|x1x2+2x2+2|=2|x1x2+x1+x2+x2+2|=2|0-43+x2+2|=2|x2+23|，同理|MB|·|AF|=2|x1x2+2x1+x2+2|=2|x1x2+2（x1+x2）-x2+2|=2|0-83-x2+2|=2|x2+23|.从而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.
（2）由题设可知，直线l的斜率存在，且不为0.设直线l方程为y=k（x+1），则直线m的方程为y=-1k（x+1），其中k≠0.
由x22+y2=1，y=k（x+1），整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有△=16k4-4（2k2+1）（2k2-2）0，x1+x2=-4k21+2k2，x1x2=2k2-21+2k2.
由于M（-2，-k），因此1|MA|+1|MB|=11+k2|x1+2|+11+k2|x2+2|.
又x1-2，x2-2，故1|MA|+1|MB|=11+k2（1x1+2+1x2+2）=11+k2·x1+x2+4x1x2+2（x1+x2）+4=11+k2·4k21+2k2+42k2-21+2k2-8k21+2k2+4=11+k2·4k2+4k2+2=21+k2.同理1|NC|+1|ND|=21+（1k）2=2|k|1+K2.
從而1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND=11+k2+2|k|1+k2=2（1+|k|）1+k2=2k2+1+2|k|k2+1≤22（k2+1）k2+1=22，当且仅当|k|=1，即k=±1时等号成立.故1|MA|+1|MB|+1|NC|+1|ND|的最大值为22.
分析2：由题意知F是E的左焦点，而直线x=-2是E的左准线，直线l与m均过点F.
解法2：（1）x=-2是椭圆E的左准线，离心率e=ca=22.如图1，左准线与x轴的交点为K；过点A作左准线的垂线，垂足为G，过点B作左准线的垂线，垂足为H.
设l的倾斜角为α，则由椭圆第二定义，得|AF||AG|=|AF||MA|cosα=e，|BF||BH|=|BF||MB|cosα=e，从而得|AF||MA|cosα=|BF||MB|cosα，故|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.
（2）如图1，过点A作x轴的垂线，垂足为A1，过点B作x轴的垂线，垂足为B1，则|AG|=|A1K|=|FK|-|A1F|=1-|AF|cosα，|BH|=|B1K|=|FK|+|B1F|=1+|BF|cosα.由椭圆第二定义得|AF||AG|=e，∴|AF||AG|=22，即2|AF|=|AG|，所以2|AF|=1-|AF|cosα，从而|AF|=12+cosα，故|AG|=22+cosα.
于是|AM|=|AG|cosα=22cosα+cos2α.同