一道练习题的深度探究与教学思考
一、习题呈现与分析
试题（多选）已知圆O：x2+y2=4，直线l：x+y+m=0，则下列结论正确的有（）.
A.当m=2时，直线l与圆O相交
D.若直线l上存在点P，圆O上存在两点A，B，使得∠APB=90°，则m的取值范围是［－4，4］
有6个未知数，无法构建m的不等式.
面对这样的两种原因，笔者也尝试从几何与代数两方面进行探究，以期和大家交流.
二、解法探究
分析1：由于直线l的斜率为定值，要求m的范围，实际上是求直线l在y轴上的截距的取值范围.因为点P在直线l上，A，B两点在圆O上，且使得∠APB=90°.所以从几何角度考虑，就是要求以圆O上任意两点A，B为直径的圆与直线l有公共点即可.由于以圆O上任意两点A，B为直径的圆的半径所属范围（0，2］.因此，我们只需要求出其中一个圆，使得直线l与其有公共点且在y轴上的截距取得最值即可.
解法1：如图1，A，B两点是圆O上任意两个不同的点，以线段AB为直径作圆C.对于一个固定的圆C来讲，若直线l与圆C相交，则直线l在y轴上的截距取不到最值.因此，只有当直线l与圆C相切时，直线l在y轴上的截距才能取到最值.但是，此时直线l与圆C的切点不一定是离点O最远的点.所以，我们只需要找到一个圆C，使得该圆上离点O距离最远的点同时也是直线l与圆C的切点即可.假设以线段AB为直径的圆C的半径为r，点M是圆C上离点O最远的
分析2：从直线l与圆O的位置关系入手.若直线l与圆O相交或相切，则只需要线段AB为圆O的一条直径就可满足条件.因此，只需考虑直线l与圆O相离的情形.
解法2：如图3，直线PC和PD是圆O的任意两条割线，直线PA和PB是圆O的两条切线，从图可看出，∠CPD≤∠APB.也就是说，若A，B两点是圆O上任意两个不同的点，点P是圆O外的任意一点，当且仅当PA和
评注：解法1和解法2都是基于几何直观解答.解法1解决了以线段AB为直径的圆上离点O距离最远的点的轨迹问题（一般地，设圆O：（x－a）2+（y－b）2=r2（rgt;0），则以圆O的任意弦AB为直径的圆上的点的轨迹方程为（x－a）2+（y－b）2=2r2），并且利用直线l与此圆相切求出了答案.从该解法中可以看出，问题的关键不是直线l上存不存在点P，关键在于求出以线段AB为直径的圆上离点O距离最远的点的轨迹，只要求出了这个轨迹，直线不管是斜率固定还是截距固定，还是没有任何特征的直线，都是当直线与这个轨迹相切时取得最值.并且，也可以将直线换成其他的几何图形.解法2从直线l与圆O的位置关系入手，先讨论了与圆O相交和相切的情形，再讨论了相离的情形.另外，从解法2中还获得了一些额外的知识，如，∠APB取最大值时的几何条件，进一步的可得解法1中以线段AB为直径的圆上离点O距离最远的点的轨迹实际上圆O外一点P作圆O的两条切线，当两条切线互相垂直时的点P的轨迹.解法3依靠于解法2，学生之所以没有顺利解决，一个是没有考虑到临界时刻，导致方程无法化简，另一个是对方程有解，不等式有解的处理方法不熟悉.解法3缺失了部分直观因素，但是对于逻辑推理和数学运算的提升是有帮助的.
三、直接变式
对于本题可从线段的长度，夹角的大小，动点轨迹等角度入手变式.将直线固定，圆的半径变化，可得：
变式1设圆O：x2+y2=r2（rgt;0），直线l：x+y+4=0，若直线l上存在点P，圆O上存在两点A，B，使得∠APB=90°，则r的取值范围是.
保持圆O不变，将直线换成动圆，可得：
变式2设圆O：x2+y2=4，圆N：（x－m）2+（y－m）2=4，若圆N上存在点P，圆O上存在两点A，B，使得∠APB=90°，则m的取值范围是.
保持圆O不变，改变直线的几何特征，可得：
变式3设圆O：x2+y2=4，直线l：y=k（x－3），若直线l上存在点P，圆O上存在两点A，B，使得∠APB=90°，则k的取值范围是.
让A，B两点在直线l上，点P在圆上，可得：
这是线段AB的最小值.随着A，B两点在直线上运
保持直线不变，将圆换成椭圆，可得：
当然，也可以将圆换成双曲线或者抛物线等等，在此不再赘述.通过前面的解法分析，对于本题还可以研究长度，角度，面积，轨迹等问题.下面以长度和角度给出几个引申变式，以供参考.
四、引申变式
引申1设圆O：x2+y2=4，直线l：x+y+4=0，点P在直线l，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，求切线长的最小值.
设计意图：本题意图在于巩固学生对切线的掌握，还可以在直线中设置参数，已知切线长的最小值，求参数的值，同时也可设置成求四边形OAPB的面积最小值问题.
解：由于|MN|=2是定长，故线段MN的中点H在圆（x－1）2+y2=3（从前面的解法1中获得方法）上运动，如图5，作M关于N的对称点M