依托椭圆场景，探求最值问题
摘要圆锥曲线中求最值或求解取值范围等问题是历年高考中的一类热点与难点问题.本文通过几道典型例题，给出了突破该类问题的一些常见技巧策略与思维视角，归纳了解题规律，技巧方法与策略，期待对高中数学教学与复习备考能有些许帮助．
关键词椭圆场景；最值求解
圆锥曲线中的基本元素之间常可用一些代数关系式来表达，而寻求这些关系式的最值问题，或取值范围问题能够很好考查圆锥曲线的“四基”，并能较好地融合其他知识，成为高考命题中的一个比较常见的热点题型．基于此，本文以椭圆应用场景为例，通过几道典型题目，合理归纳总结，就巧用几何意义、妙构函数模型、构造基本不等式与巧借三角函数等几类典型的常用技巧与方法，结合典型实例来剖析解决椭圆中的最值问题的应对策略，抛砖引玉．
1．巧用几何意义
巧用几何意义思维，主要是利用椭圆的基本概念与几何意义，尤其是椭圆的几何性质，综合平面几何知识等加以综合应用，合理直观想象，数形结合分析，进则得以确定相应的最值问题．
例1（1）（2024年定西市模拟试题）已知椭圆C：x29+y25=1的左、右焦点分别为F1，F2，A是C上一点，B2，1，则AB+AF1的最大值为（）.
A．7B．8C．9D．11
（2）（2024年浙江省模拟试题）已知F是椭圆C：x24+y23=1的左焦点，点M在椭圆C上，N在圆P：x2+y－32=2x上，则MF－MN的最大值是．
解析（1）由题意得F22，0，a=3．如图1所示，连接AF2，结合椭圆的定义有AB+AF1=AB+2a－AF2=6+AB－AF2．而结合平面几何图形的几何意义，可知AB－AF2SymbolcB@BF2=1，当且仅当A，F2，B三点共线，且点F2在点A，B之间时等号成立．所以AB+AF1的最大值为7．故选A．
（2）由圆P：x2+（y－3）2=2x得（x－1）2+（y－3）2=1，可得圆P的圆心P1，3，半径r=1．由椭圆C：x24+y23=1，可得a=2．
设椭圆C的右焦点为F1，根据椭圆的定义可得MF=2a－MF1，所以MF－MN=2a－MF1+MN．又由MNmin=MP－r，当点P，N，M，F1四点共线时，即如图2中点P，N，M，F1所在的位置时，MF1+MN取得最小值，最小值为MF1+MNmin=MF1+MP－r=PF1－r=3－1=2．所以MF－MNmax=2×2－2=2．
点评巧妙借助椭圆的定义来转化所要求解的线段长度之和的表达式，利用平面几何图形的直观，结合平面几何图形的几何意义加以转化，实现表达式最值的确定与判断．几何意义思维来分析与处理此类圆锥曲线中的最值问题时，要抓住“变”与“不变”之间的关系，巧妙利用平面几何图形的几何意义与图形直观来综合与应用，特别要注意等号成立时的条件是否存在．
2．妙构函数模型
妙构函数模型思维，是合理引入相应的参数，进而结合椭圆的应用场景，合理构建对应的函数，尤其是二次函数或与二次函数相关的函数模型，进而利用函数的图象与性质来分析与应用，实现最值的突破与求解．
例2（2023—2024学年重庆一中高二（上）第一次月考数学试卷）过椭圆x236+y227=1上一动点P分别向圆C1：x+32+y2=4和圆C2：x－32+y2=1作切线，切点分别为M，N，则PM2+2PN2的最大值是．
解析如图3，因为a=6，b=33，c=3，易知C1－3，0，C23，0为椭圆的两个焦点．而PM2+2PN2=PC12－4+2PC22－1=PC12+2PC22－6．
根据椭圆的定义PC1+PC2=2a=12，设PC2=t，则a－cSymbolcB@tSymbolcB@a+c，即3SymbolcB@tSymbolcB@9，PC1=12－t．则PM2+2PN2=12－t2+2t2－6=3t2－24t+138=3t2－8t+46=3［t－42+30］，当t=9时，可得PM2+2PN2取得最大值为165．
点评利用直线与圆的位置关系，结合勾股定理加以合理变形与转化，并通过椭圆定义的应用，巧妙引入参数，将所要求解的关系式转化为该参数的函数模型问题，进而结合参数的取值范围，利用二次函数的图象与性质来确定最大值．巧妙引入参数，为合理构建函数模型创造条件，一定要注意参数的取值范围对所求结果会有一定的影响．若引入参数后所构建的函数模型比较复杂，也可以借助函数与导数的综合应用来分析与处理．
3．构造基本不等式
构造基本不等式思维，是合理恒等变形对应的表达式，通过合理配凑变量间的和（或积）为定值的基本条件，创造利用基本不等式放缩与应用的条件，进而借助基本不等式的合理放缩来确定对应的最值问题．
例3（2023—2024学年江西省金溪一中、广昌一中、南丰一中高二（上）月考试题）已知椭圆C：x216+y212=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上