真题中找灵感探究中寻创新
命题活动是一项具有创新意义的活动，不仅能帮助教师对《高中数学课程标准》的深入理解，还可以促进教师更好的把握、理解教材及高考命题精神.本文介绍笔者参加的一次高中说题大赛时命制的一道试题，就其过程及思考，与同行交流探讨.
1.题目立意分析
已知直线l：y=kx+m交双曲线C：x2－y2=1于M，N两点，P（x0，y0）（y0≠0）是C上异于M，N的一点，且满足PM⊥PN.（1）证明：kx0+y0=0；（2）若△PMN为等腰三角形.（i）证明：2mx20y0+1=0；
（ii）求△PMN面积的最小值.
该题题干简洁，设问清晰，以两问三小问的形式呈现，三小问之间考查的角度各不相同，又层层递进.试题以双曲线为背景，考查直线与圆锥曲线的位置关系、定值与多元目标函数的最值问题，综合性强，方法多样，有利于创新人才的培养.
2.命题来源路径
2.1回归经典找灵感
命题之初，根据比赛的要求选择从解析几何的角度命制一道压轴题.高考真题和教材是命题的一个重要的源泉.因此首先在历年的高考真题中选择素材，注意到2020年新高考山东卷是以解析几何试题为压轴的，因此，从这道题展开探究，寻找命题的灵感.
因此，命题的灵感就来源于此，选择以等轴双曲线为背景，在相同的条件下，从定值的角度考查.在学生熟悉的模型的基础上命题，考查学生是否掌握了基础知识的同时又与真题有所区别和创新.
2.2深度探究寻创新
有了上述模型，如果仅仅考查斜率为定值问题，那么试题的思维量和难度都不足以作为压轴题，注意到2024年九省联考试卷的解析几何题，考查了平面几何背景下的最值问题，因此，思考在上述模型下能否寻找到最值问题.若给定点A，那么△AMN的面积是可以求解的，但是，通过观察可知，△AMN的面积不存在最值，因此，在此基础上对问题的条件加强，让|AN|=|AM|，那么对于给定的A点，△AMN就确定下来了，由此提出问题3：等腰直角三角形三个点均在双曲线上，当直角顶点在双曲线上变化时，该三角形的面积是否存在最值？经探究该三角形面积存在最小值，因此得到了试题的初稿：
（1）当P（2，1）时，证明：直线MN的斜率为定值；
（2）若|PM|=|PN|，求△PMN面积的最小值.
考虑到第（1）问的解决，对于第（2）问的解决没有帮助，同时在解决第（2）问的过程中，还需要将第（1）问一般化的过程求解一遍，因此将第（1）问改为一般化的证明，考查了定值问题同时又可以为第（2）问的解决进行铺垫.同时注意到近几年的新高考试卷重视符号的表达与运算，在第（1）问考查一般化的定值问题也是符合新高考试卷命题趋势的.在第（2）问中，要借助第（1）问的结论解决问题，还需要得到直线MN的截距与P点坐标（x0，y0）之间的关系，故给了第（i）小问的铺垫.这样三个小问之间，在考查定值、符号表达与运算的同时，前面两个小问的解决也为第（ii）问的解决提供了一种基本方法的铺垫，因此确定了终稿的设问.
3.解法探究
一道好的数学题，不仅要做到形式简洁，同时还要内涵丰富，解决方法多样，能够考查学生不同思维层次和能力.本题在探究的过程中，根据对条件转化的不同得到的方法也丰富多样.下面给出其中的几种思路与方法：
思路一：（1）采用设而不求，联立直线l与曲线C，利用韦达定理，得到M，N两点横坐标之和与之积.将垂直用向量转化，代入，利用主元思想，因式分解得到结论.（2）（i）在（1）的基础上得到MN中点Q坐标，利用△PMN为等腰直角三角形，得到PQ⊥MN，转化为kkPQ=－1，得到m与x0，y0关系.（2）（ii）在前面的基础上，将直线l的方程用x0，y0表示，易得△PMN边MN上的高d，则△PMN的面积为d2，进而求含有x0，y0两个变量函数的最值即可.
入可整理得（x20+y20+1）k2+2mx0k+2my0+1－x20－y20=0.因为x20－y20=1，化简得（kx0+m－y0）（kx0+y0）=0.若kx0+m－y0=0，则直线l：y=k（x－x0）+y0经过点P，不合题意.所以kx0+y0=0.
思路二：（1）设直线PM的斜率为k1，联立直线PM与C，解得M点坐标，同理得到N点坐标，进而将MN的斜率用x0与y0表示.（2）（i）在（1）的基础上求出MN的中点Q，利用PQ与MN垂直得到m与x0，y0的关系.（2）（ii）在（1）的基础上可以求得PM，PN的长度，利用|PM|=|PN|得到k1与x0，y0的
不同的解法反映了学生思维层次的不同，不同方法的选择让学生经历不同的解题“风景”，花费不同的时间.解法1和解法2为努力的学生铺设了走向成功的通道.解法3-5为优秀的学生搭建了表演才华的舞台.
4.变式拓展
变式1已知直线l：y=kx+m交双曲线C：x2－y2=1于M，N两点，P（x0，y0）（y0≠