与公切线有关的四类常见题型及求解技巧
摘要基于两曲线的公切线创设场景，本文就共切点与异切点的公切线问题，公切线条数与公切点个数等问题，结合实例挖掘此类问题的内涵与实质，归纳此类问题的技巧与方法，引领并指导数学教学与复习备考．
关键词异切点；共切点；公切线问题
在近几年高考函数与导数的应用试题的命制过程中，求解与曲线的公切线有关的问题成为高考的热点题型之一．学生在做题过程中，单一曲线的切线问题相对来说，比较容易理解与掌握，但是解决多条曲线（主要是两条曲线）的公切线问题，显然比单一曲线的切线问题要复杂得多，难度也较大多．本文通过一些典型例题分析一下常见的四类公切线问题．
1．共切点的公切线问题
基于两曲线具有相同切点的公切线为问题场景，合理创设相应的公切线问题，用来解决涉及参数值的求解，公切线的方程特征与概念，以及公切线的基本性质与相关应用等方面的综合问题．
例1（2024年重庆市高考数学模拟试卷）已知函数fx=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，若这两个函数的图象在公共点A1，2处有相同的切线，则a+b=．
解析因为fx=ex－ax+ba，b∈R，gx=x2+x，所以fx=ex－a，gx=2x+1．因为fx，gx在公共点A1，2处有相同的切线，所以f′1=g′1，f1=2，得a=e－3，b=－1，所以a+b=e－4．
点评解决此类涉及共切点的公切线问题，往往是通过两个不同曲线进行求导处理，结合公切点的应用场景，利用“该切点处的两个函数的导数相等”这一关系建立方程（组），通过方程（组）的求解来深入研究共切点的公切线问题的分析与求解．
2．异切点的公切线问题
基于两曲线具有不同切点的公切线为问题场景，合理创设异切点的公切线应用条件，结合含参曲线或对应含参公切线问题的创设，用来解决相应的参数求值，代数式求解等相关的综合应用问题．
例2（2024年黑龙江省哈尔滨市高考数学模拟试卷）已知函数fx=lnx+1，gx=lne2x，若直线y=kx+b为曲线y=fx和y=gx的公切线，则b=（）.
A．12B．1－ln2C．2－ln2D．－ln2
解析设直线l：y=kx+b与fx=lnx+1相切于点Ax1，y1，与gx=lne2x相切于点Bx2，y2．由fx=lnx+1得fx=1x+1.由fx1=1x1+1=k得x1=1－kk，则y1=fx1=lnx1+1=ln1－kk+1=ln1k=－lnk，即点A（1－kk，－lnk）．代入直线l中得－lnk=k·1－kk+b，即b=k－lnk－1①．
因为gx=lne2x=lne2+lnx=2+lnx，所以gx=1x，由gx2=1x2=k得x2=1k，则y2=gx2=2+lnx2=2+ln1k=2－lnk，即点B（1k，2－lnk）．代入直线l中得2－lnk=k·1k+b，即b=1－lnk②．
联立①②，得k=2，所以b=1－ln2．故选B．
点评解决涉及异切点的公切线问题，需分别设出公切线与对应不同曲线所对应的两个不同切点，借助导数的几何意义，确定对应切点的坐标表达式，代入对应的公切线方程，构建相应的表达式，进而利用“公切线”这一特征，合理建立相应的方程（组）来分析与求解．
3．公切线条数的判断问题
基于两条曲线具有相同公切线为问题场景，借助两个确定的函数解析式，用来确定公切线应用场景下的公切线条数的确定问题，或通过某个确定的点向两曲线引切线来确定公切线的条数等．
例3（2024年河南省许昌市高考数学模拟试卷）已知函数fx=x3－x+a的图象关于原点对称，则与曲线y=fx和y=x2+14均相切的直线l有（）.
A．1条B．2条C．3条D．4条
解析由函数fx=x3－x+a的图象关于原点对称得f－x=－fx，即－x3－－x+a=－x3－x+a，解得a=0，所以fx=x3－x，fx=3x2－1．
设直线l与y=fx相切于点x1，fx1，所以切线方程为y－x31－x1=3x21－1x－x1，整理得y=3x21－1x－2x31．设gx=x2+14，直线l与y=gx相切于点x2，gx2，因为gx=2x，所以切线方程为y－x22+14=2x2x－x2，整理得y=2x2x－x22+14．则3x21－1=2x2，－2x31=－x22+14，整理得3x212－122－2x31－14=94x41－2x31－32x21=x2149x21－8x1－6=0．
当9x21－8x1－6=0时，Δ=－82+4×9×6gt;0，方程有两个非零实数根，x1=0也满足方程，故x1有3个值．
所以方程组有3组解，故满足题中条件的直线l有3条，故选C．
点评解决涉及公切线条数的判断问题，往往根据两个不同曲线在切点处的斜率相等，同时满足切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点的横坐标的方程（组），通过解