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文档摘要

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一道课本习题的探究

一、习题及其解

分析：中点弦问题，可使用点差法解决，避免复杂的运算．当直线l垂直x轴时，可得直线l方程，经检验不符合题意；当直线l不垂直x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，假设点P（1，1）为线段AB的中点，可得直线l的斜率，进而可得直线l的方程，与双曲线联立，判别式Δlt;0，方程无解，l不存在，综合即可得答案．

综上，点P不能是线段AB的中点．

二、习题探究

探究1为什么直线方程求出来以后，需要与双曲线方程联立，验证直线与双曲线是否相交？

这是因为点差法的不等价性．使用点差法的时候，是假设P为线段AB中点，从而得到x1+x2=2，y1+y2=2，而这个假设可能会不成立，存在不确定性，所以求出直线方程后需要与双曲线方程联立验证是否相交．

探究2之前学习椭圆的时候，也有类似的利用点差法解决中点弦问题，当时却没有强调验证相交的问题，利用点差法解决椭圆的中点弦问题需要验证吗？

探究3不用根的判别式，是否有其他方法可以判定直线l不存在？

下面再证明结论1：

B，且P是线段AB的中点．

（3）当x0gt;0且y0gt;0时，此时P在第一象限，三个区域分别讨论：

（4）利用对称性，易得P在第二、第三、第四象限时，在对应的区域Ⅰ及区域Ⅱ，都存在直线l，使得P是线段AB的中点，在对应的区域Ⅲ，都不存在直线l，使得P是线段AB的中点．

综上所述，结论1成立．

三、变式练习

利用上述结论，可以快速判断某个点作为中点作直线与双曲线是否相交的问题．

A．0，2B．－1，2C．1，1D．1，4

［1］章建跃，李增沪．普通高中教科书数学选择性必修第一册［M］．北京：人民教育出版社，2020：128.