第10讲游戏策略
第10讲游戏策略
四年级暑期
知识点
知识点
游戏策略（四上）
1、?“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后一枚棋子谁胜”的取胜策略是：每次取走棋子数除以（n+1）的余数枚棋子，让对方面对的（n+1）倍数枚棋子必败状态．
2、?处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．
3、?在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．
4、?在问题较复杂时，可以从简单情况入手，寻找规律．
方法精讲
方法精讲
情况很复杂时，我们往往需要先从比较简单的情况开始尝试，在逐渐变复杂的过程中，寻找规律进而解决题目．这其实是一种非常重要的数学思想，高年级乃至往后的数学学习中应用的递推、数学归纳法等都是以此为基础的．利用互补的想法，我们有更一般的结论．“有m枚棋子，两人轮流取棋子，规定每人每次可以取走1至n枚，直到把棋子取完为止，谁取得最后的一枚棋子谁胜．”其取胜策略是：每次取走棋子数除以n+1的余数枚棋子，让对方面对n+1的倍数枚棋子——必败状态，则可保证取到最后的一枚棋子而获胜．在一定能分出胜负的对策问题中，一方要么处于必胜状态，要么处于必败状态．处于必胜状态的一方，总能进行一次适当的操作后，把必败状态留给对手．反之，处于必败状态的一方，无论采取什么策略，都只能把必胜状态留给对手．在很多对策问题中，具有对称性的状态往往是解决问题的关键．
课堂例题
课堂例题
从简单情形出发寻找必胜状态和必败状态
1、有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取3枚．如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【答案】
（1）乙有必胜策略；（2）甲有必胜策略
【解析】
（1）如果剩不到4枚棋子，先取的人把所有棋子取走后获胜；如果剩4枚棋子，无论先取的人如何取，所剩的棋子数都不到4枚，所以后取的人获胜；如果有12枚棋子，甲取1枚时乙取3枚，甲取2枚时乙取2枚，甲取3枚时乙取1枚，在每次甲取完后，乙可以取适当数量的棋子以保证两人一个回合共取4枚棋子，这样乙可以拿到最后1枚，乙胜．
（2）如果剩1枚，那么先取的人必败；如果剩2至4枚，先取的人可以剩1枚不取，所以后取的人败．12枚的情况与4枚的情况类似，甲先取3枚，剩下9枚．之后乙取1枚时甲取3枚，乙取2枚时甲取2枚，乙取3枚时甲取1枚，甲保证两人一个回合共取4枚棋子．最后1枚必然被乙拿到，甲胜．
2、有96枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定甲先取，每人每次至少取1枚，最多取5枚．（1）如果谁取走最后一枚棋子谁赢，那么谁有必胜策略？（2）如果谁取走最后一枚棋子谁输，那么谁有必胜策略？必胜策略是什么？
【答案】
（1）乙（2）甲甲先取5个，以后无论乙取15的几个，甲都取6减去乙
【解析】
（1）乙有必胜策略，无论甲取15的几个，乙都取6减去甲，这样能保证两人取的是6的倍数，这样就能保证自己取到最后一个（2）要想胜利必须取道第95个，，甲先取5个，以后无论乙取15的几个，甲都取6减去乙，这样就能保证自己取道第95个，乙必输．
3、有一排1999个空格，预先在左边第一格中放一枚棋子，然后由甲、乙两人轮流走，甲先乙后．每人走时，可以将棋子向右移动1到4格，规定谁将棋子走到最后一格谁输．甲为了必胜，第一步走几格？以后怎样走？
【答案】
第一次取3个，以后无论乙取14的几个，甲都取5减去乙
【解析】
甲只能把最后一格留给乙，所以甲要取到第1998个，，所以甲第一次取3个，以后无论乙取14的几个，甲都取5减去乙，这样就能保证取到第1998个，乙必输．
4、现有2014根火柴．甲、乙两个人轮流从中取出火柴，规定甲先取，每人每次至少从中取出2根，最多取出4根．如果谁无法取出火柴谁就赢，请问谁一定能赢？策略是什么？
【答案】
甲有必胜策略
【解析】
根据上题经验，第二个人总可以保证和第一个人共取6根火柴，，所以2014根火柴的情况与4枚火柴的情况相同．4枚火柴时甲先取2根火柴即可获胜，因此2014根火柴时甲也先取2根火柴，之后乙无论怎么取，甲再取时都可以保证两人一个回合共取6根火柴．，最后剩下的2根火柴留给了乙，甲无法取出火柴，甲获胜．
对称与中心对称法
5、甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可．规定取到最后一个球的人赢，甲先取球．如果开始时两堆分别有五个球和八个球，那么谁有必胜策略？请说明理由．
【答案】
甲必胜
【解析】
甲先从8个球的那堆中取出三个球，使得两堆球一样多．之后每次乙取几个球，甲就在另一