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文件名称:2025北京大兴高一(下)期中数学(教师版).docx
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更新时间:2025-06-07
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2025北京大兴高一(下)期中

数学

本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将答题卡交回.

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.复数()

A. B. C. D.

2.()

A. B. C. D.

3.已知向量,,且,则()

A. B. C. D.

4.函数的最大值是()

A. B.3 C. D.5

5.已知复数在复平面内对应的点为,则()

A.3 B. C. D.5

6.在中,“”是“”的()

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.如图,在等腰梯形ABCD中,,,,E为BC边上一点,且满足,若,则()

A. B. C.4 D.8

8.设点的坐标为,是坐标原点,向量绕着点逆时针旋转后得到,则的坐标为()

A. B.

C. D.

9.如图,正方体的棱长为,点在正方形的边界及其内部运动,且满足,则四面体的体积的最小值是()

A. B. C. D.

10.在△ABC中,AB=5,AC=6,cosA=,O是的内心,若=x+y,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()

A. B. C.4 D.6

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11.已知,则=________.

12.已知复数,则______.

13.如图,梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图,,则在平面图形中,______;图形的面积为______.

14.在水流速度为的河中,要使船以的速度与河岸成直角横渡,则船行驶速度的大小为______,与水流方向所成的角为______.

15.已知中,,,若点是边上一点,是的中点,给出下列四个结论:

①若,则;

②若在方向上的投影向量为,则的最小值为;

③若,则的最大值为;

④若,则为定值.

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16.已知复数.

(1)当时,求的值;

(2)若复数为纯虚数,求的值.

17.已知.

(1)求的值;

(2)求的值.

18.在中,.

(1)求的大小;

(2)若,再从下列三个条件中选择一个作为已知,使存在,求BC边上中线的长.

条件①:;条件②:;条件③:的面积为.

19.已知平面四边形的边长满足,且.

(1)若,求的大小;

(2)若,求四边形的面积.

20.如图,在正四棱锥中,侧棱SA长为1,记,其体积记为,表面积记为.

(1)求的值;

(2)求的解析式,并直接写出的取值范围;

(3)试判断是否存在最值,并说明理由.

21.如图,设是平面内相交成角的两条射线,分别为同向的单位向量,定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中,若,记.

(1)在仿射坐标系中.

①若,求;

②若,且,的夹角为,求;

(2)如图所示,在仿射坐标系中,B,C分别在x轴,y轴正半轴上,,E,F分别为BD,BC中点,求的最大值.

参考答案

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1.【答案】C

【分析】由复数的乘法计算可得.

【详解】.

故选:C

2.【答案】C

【分析】由,结合两角差的正弦公式,结合特殊角的三角函数值,进行计算,即可求解.

【详解】由.

故选:C.

3.【答案】A

【分析】根据向量垂直列方程,解方程可得,进而可得解.

【详解】由已知,,且,

则,则,

所以,

故选:A

4.【答案】C

【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得.

【详解】,由正弦函数的值域可得其最大值为.

故选:C

5.【答案】D

【分析】由复平面内几何表示及其模长的计算可得.

【详解】由题意可得实部为,虚部为1,所以.

故选:D

6.【答案】C

【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.

【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,

由,可得,,由正弦定理可得.

因此,“”是“”的充分必要条件.

故选:C.

【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.

7.【答案】B

【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可

【详解