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2025北京大兴高一(下)期中
数学
本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将答题卡交回.
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.复数()
A. B. C. D.
2.()
A. B. C. D.
3.已知向量,,且,则()
A. B. C. D.
4.函数的最大值是()
A. B.3 C. D.5
5.已知复数在复平面内对应的点为,则()
A.3 B. C. D.5
6.在中,“”是“”的()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图,在等腰梯形ABCD中,,,,E为BC边上一点,且满足,若,则()
A. B. C.4 D.8
8.设点的坐标为,是坐标原点,向量绕着点逆时针旋转后得到,则的坐标为()
A. B.
C. D.
9.如图,正方体的棱长为,点在正方形的边界及其内部运动,且满足,则四面体的体积的最小值是()
A. B. C. D.
10.在△ABC中,AB=5,AC=6,cosA=,O是的内心,若=x+y,其中x,y∈[0,1],则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为()
A. B. C.4 D.6
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共5小题,每小题5分,共25分.
11.已知,则=________.
12.已知复数,则______.
13.如图,梯形是水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图,,则在平面图形中,______;图形的面积为______.
14.在水流速度为的河中,要使船以的速度与河岸成直角横渡,则船行驶速度的大小为______,与水流方向所成的角为______.
15.已知中,,,若点是边上一点,是的中点,给出下列四个结论:
①若,则;
②若在方向上的投影向量为,则的最小值为;
③若,则的最大值为;
④若,则为定值.
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
16.已知复数.
(1)当时,求的值;
(2)若复数为纯虚数,求的值.
17.已知.
(1)求的值;
(2)求的值.
18.在中,.
(1)求的大小;
(2)若,再从下列三个条件中选择一个作为已知,使存在,求BC边上中线的长.
条件①:;条件②:;条件③:的面积为.
19.已知平面四边形的边长满足,且.
(1)若,求的大小;
(2)若,求四边形的面积.
20.如图,在正四棱锥中,侧棱SA长为1,记,其体积记为,表面积记为.
(1)求的值;
(2)求的解析式,并直接写出的取值范围;
(3)试判断是否存在最值,并说明理由.
21.如图,设是平面内相交成角的两条射线,分别为同向的单位向量,定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中,若,记.
(1)在仿射坐标系中.
①若,求;
②若,且,的夹角为,求;
(2)如图所示,在仿射坐标系中,B,C分别在x轴,y轴正半轴上,,E,F分别为BD,BC中点,求的最大值.
参考答案
第一部分(选择题共40分)
一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.【答案】C
【分析】由复数的乘法计算可得.
【详解】.
故选:C
2.【答案】C
【分析】由,结合两角差的正弦公式,结合特殊角的三角函数值,进行计算,即可求解.
【详解】由.
故选:C.
3.【答案】A
【分析】根据向量垂直列方程,解方程可得,进而可得解.
【详解】由已知,,且,
则,则,
所以,
故选:A
4.【答案】C
【分析】由辅助角公式结合正弦函数的值域计算可得.
【详解】,由正弦函数的值域可得其最大值为.
故选:C
5.【答案】D
【分析】由复平面内几何表示及其模长的计算可得.
【详解】由题意可得实部为,虚部为1,所以.
故选:D
6.【答案】C
【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.
【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,
由,可得,,由正弦定理可得.
因此,“”是“”的充分必要条件.
故选:C.
【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.
7.【答案】B
【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可
【详解