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2023-2025北京高三（上）期末数学汇编
圆的方程
一、单选题
1．（2025北京东城高三上期末）在平面直角坐标系中，整点是指横、纵坐标都是整数的点．已知圆经过三点，则该圆经过的整点共有（????）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
2．（2025北京丰台高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（???）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．（2024北京一六六中高三上期末）圆的圆心到直线的距离为（????）
A． B． C． D．
4．（2024北京朝阳高三上期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则的最大值为（????）
A． B． C． D．
5．（2023北京顺义高三上期末）已知点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，则的最小值为（????）
A．0 B． C． D．
6．（2023北京石景山高三上期末）已知直线与圆交于A，B两点，则线段的垂直平分线方程为（????）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2024北京一六六中高三上期末）若圆（）被直线平分，则的最小值为．
8．（2023北京顺义高三上期末）已知圆，点A、B在圆M上，且为的中点，则直线的方程为．
9．（2023北京西城高三上期末）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为．
参考答案
1．D
【分析】先设出圆的一般方程，代入点的坐标得到圆的方程，从而得到圆经过的整点.
【详解】设该圆的方程为，
将代入圆的方程可得：
，解得，
故圆的方程为，
整理得，
当时，；当时，或5；
当时，或6；当时，或7；
当时，或6；当时，或5；
当时，，所以该圆经过的整点共有12个.
故选：D.
2．C
【分析】由直线的方程判断两直线垂直，确定P点的轨迹方程，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意知直线与直线，满足，
故两直线垂直，
直线过定点，直线过定点，
故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点），
该圆方程为，设其圆心为，半径为3，
则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立，
故的最小值为，
故选：C
3．D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【详解】由题意得，即，
则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.
故选：D.
4．D
【分析】求出点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，再利用圆上点到定点距离的最值求法可得结果.
【详解】设，易知，
由可得，整理得，
即动点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
又，可得的最大值为到圆心的距离再加上半径，
即.
故选：D
5．D
【分析】由题可设，，然后根据向量数量积的坐标表示及三角函数的性质即得.
【详解】因为点A，B在圆上，且，P为圆上任意一点，
则，设，，
所以，
所以，
即的最小值为
故选：D.
【点睛】方法点睛：向量数量积问题常用方法
一是利用基底法，结合平面向量基本定理及数量积的定义求解；
二是利用坐标法，结合图形建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积.
6．A
【分析】根据互相垂直两直线斜率之间的关系、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】由，圆心坐标为，
由，所以直线的斜率为，
因此直线的垂直垂直平分线的斜率为，
所以直线的垂直垂直平分线方程为：，
故选：A
7．/
【分析】由题意可得直线过圆的圆心，故有，然后利用“1”的妙用进行求解即可
【详解】由，
所以该圆的圆心坐标为，
因为圆被直线平分，
所以圆心在直线上，
因此有，
所以，
当且仅当即时，取等号
故答案为：
8．
【分析】根据垂径定理得到，根据两直线垂直时斜率的关系得到，
然后利用斜截式写直线方程，最后整理为一般式即可.
【详解】可整理为，
所以圆心为，根据垂径定理可得，，
所以，直线AB的方程为整理得.
故答案为:
9．(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为(x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.