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2023-2025北京高三（上）期末数学汇编
向量的数量积（人教B版）
一、单选题
1．（2025北京昌平高三上期末）在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
2．（2025北京西城高三上期末）在△中，则“”是“是直角三角形”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025北京东城高三上期末）已知平面向量为两两不共线的单位向量，则“”是“与共线”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025北京顺义高三上期末）已知向量，，若与垂直，则的值为（???）
A． B．0
C． D．2
5．（2024北京朝阳高三上期末）在△中，，当时，的最小值为4．若，其中，则的最大值为（????）
A．2 B．4 C． D．
6．（2024北京石景山高三上期末）已知向量，若，则（????）
A． B． C． D．
7．（2024北京丰台高三上期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024北京东城高三上期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（???）
A． B．
C． D．
9．（2024北京房山高三上期末）已知向量，，且与的夹角为，则的值为（????）
A． B． C． D．
10．（2024北京大兴高三上期末）设向量，若，则（????）
A． B． C． D．
11．（2023北京通州高三上期末）已知向量，满足，，则等于（????）
A． B．13 C． D．29
12．（2023北京西城高三上期末）在△中，．P为边上的动点，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2025北京海淀高三上期末）已知向量，，则，的最小值为.
14．（2025北京通州高三上期末）已知是同一平面上的三个向量，满足，，则与的夹角等于；若与的夹角为，则的最大值为.
15．（2025北京西城高三上期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是，.
16．（2025北京朝阳高三上期末）已知为△所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则；．
17．（2024北京一六六中高三上期末）设向量，且，则，和所成角为
18．（2024北京丰台高三上期末）矩形中，，，且分为的中点，则．
参考答案
1．B
【分析】设，由平行四边形法则得到,将表示成的函数，并利用二次函数的性质求出最小值.
【详解】△中，，为的中点，
所以，
设，则，，
，
即当时，的最小值为.
故选：B.
2．A
【分析】根据充分不必要条件的判定和向量数量积的定义和运算律即可得到答案.
【详解】，则，因为在△中，
则，则，则，则△是直角三角形，则充分性成立；
反过来若“△是直角三角形”，则不一定是，
比如，则，则，则，则必要性不成立，
则“”是“△是直角三角形”的充分不必要条件.
故选：A.
3．C
【分析】由题设有设，，，如下图，为边长为1的菱形，数形结合及向量加减、数乘的几何意义判断条件间的推出关系，即可得答案.
【详解】由平面向量为两两不共线的单位向量，
设，，，如下图，为边长为1的菱形，
若，即与垂直，，
即，而，且，
所以共线，即与共线；
若与共线，即且，而，即，
所以与垂直，故.
所以“”是“与共线”的充要条件.
故选：C
4．A
【分析】根据向量垂直的坐标形式可求的值.
【详解】因为且与垂直，
故，故，
故选：A
5．C
【分析】由的最小值为可得△的形状为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系将向量坐标化，利用平面向量共线定理以及的取值范围表示出的表达式，再由二次函数单调性即可求得.
【详解】如下图所示：
在直线上取一点，使得，
所以，当时，取得最小值为，即；
又，所以可得△是以为顶点的等腰直角三角形，
建立以为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：
又可得为的中点，
由以及可得在上，
可得，
所以，可得，
则，
令，由可得，
所以，，
由二次函数在上单调递增可得，.
故选：C
【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的最小值为判断出△的形状，将向量坐标化并表示出模长表达式利用函数单调性可求得结果.
6．B
【分析】求出，利用即可