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2023-2025北京高三（上）期末数学汇编
曲线与方程（人教B版）
一、单选题
1．（2025北京西城高三上期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的动点，且.设动点的轨迹为曲线，则（????）
A．是平行四边形，且周长为
B．是平行四边形，且周长为
C．是等腰梯形，且周长为
D．是等腰梯形，且周长为
2．（2023北京通州高三上期末）设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（????）
A．最大值，最小值 B．最大值，最小值1
C．最大值2，最小值 D．最大值2，最小值1
二、填空题
3．（2025北京海淀高三上期末）已知曲线.给出下列四个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；
④曲线所围成区域的面积大于.
其中，所有正确结论的序号为.
4．（2025北京丰台高三上期末）已知曲线（、为常数），给出下列四个结论：
①曲线关于坐标原点对称；
②当时，曲线恒过两个定点；
③设、为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值；
④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号为.
5．（2024北京丰台高三上期末）在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线过原点；
②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形；
③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线围成区域的面积大于．
则所有正确结论的序号是．
6．（2023北京高三上期末）曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是．
参考答案
1．D
【分析】分别取的中点，先分别在面、面上确定动点的轨迹、，进而得到是过点的平面与正方体各表面的交线（梯形），再通过计算确定是等腰梯形及其周长.
【详解】分别取的中点，连接，
则∥∥，∴四点共面
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，此时的轨迹为线段；
若为面上的动点，
由正方体易得，平面平面，且平面平面，要使，则只需，因为分别是的中点，易证，故此时的轨迹为线段；
所以动点的轨迹曲线为过点的平面与正方体各表面的交线，即梯形.
因为正方体的棱长为2，所以.
所以曲线为等腰梯形，且周长为.
故选：D.
2．B
【分析】由题设明确点到原点距离为，结合曲线方程，利用基本不等式可得的最小值和最大值，即可得答案.
【详解】由题意知点到原点距离为，
由于点是曲线上任意一点，可得，
当且仅当时取等号，即曲线上的点到原点距离最小，最小值为1；
又因为,所以，
当且仅当时取等号，
故，即，当且仅当时取等号，
即点到原点距离的最大值为，
故选：B
3．②④
【分析】根据曲线方程分析曲线的性质，有曲线为封闭曲线，过点，关于轴对称，画出曲线大致图形，结合圆、四边形在曲线内部判断各项的正误.
【详解】由，则且，易知曲线为封闭曲线，
所以，易得，故，
时；时；时，
故曲线过点，显然不关于直线对称，①错；
对于曲线上任意点，其关于轴对称点为，
则，故曲线关于轴对称，
综上，曲线的大致图形如下图示，显然曲线上恰好有个整点，②对；
由圆过点，故圆上点均在曲线上或内，
所以曲线上不存在点，使得到点的距离小于，③错；
如图中，四边形在曲线内部，故曲线所围成区域的面积大于，④对.
故答案为：②④
【点睛】关键点点睛：根据曲线方程分析出曲线的相关性质，并画出大致图形为关键.
4．①②④
【分析】利用曲线的对称性可判断①；当时，化简曲线方程，求出定点坐标，可判断②；将曲线的方程视为关于的二次方程，利用判别式求出的范围后可判断断③；化简方程得可判断曲线在线段上方，数形结合可判断④.
【详解】对于①，在曲线上任取一点，则，
点关于原点的对称点为，
则，
即点在曲线上，所以，曲线关于坐标原点对称，①对；
对于②，当时，则，曲线的方程为，
由，解得或，
所以，当时，曲线恒过两个定点、，②对；
对于③，当，时，将曲线的方程视为关于的二次方程，
则，故，
故或，
故无最值.
对于④，当，时，由题设可得，
当时，，
即曲线在第一象限的部分在直线的上方，如图，
则，④对.
故答案为：①②④.
【点睛】关键点点睛：本题关键是求出曲线方程，后运用性质，如对称性，面积借助放缩成三角形即可求解.
5．①③④
【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.
【详解】设，则，到直线l的距离，
由题意可知，，
，，
当时，，
则；
当时，，则，，.
可作图如下：
由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对