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2023-2025北京高三（上）期末数学汇编
离散型随机变量的数字特征
一、解答题
1．（2025北京昌平高三上期末）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张.为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下：
????用户
平台
购买景区门票用户（人）
未购买景区门票用户（人）
官方网站
短视频
景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为元/人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率．
(1)从短视频平台浏览用户中随机选取人，估计此人为购买景区门票用户的概率；
(2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取人，用表示这人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望；
(3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为万人和万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按元/人的标准支付，向短视频平台按元/人的标准支付.为了获得最大的净利润（净利润=售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由．
2．（2025北京海淀高三上期末）某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试.选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：
原始成绩
8.75
8.25
8.25
6.75
6.75
6.5
6
5.5
5.25
4.25
3.75
3.25
排名
1
2
2
4
4
6
7
8
9
10
11
12
(1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；
(2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：
当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；
当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分.
①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
原始成绩
9.75
8
8
7.5
7.5
6
5.75
5.75
排名
1
2
2
4
4
6
7
7
原始成绩
5
4.75
4.5
4.5
4.25
4
3.75
3.5
排名
9
10
11
11
13
14
15
16
对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分.现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.
3．（2025北京房山高三上期末）近年中国新能源汽车进入高速发展时期，2024年中国新能源汽车销售量已超过1100万辆，继续领跑全球.某市场部为了解广大消费者购买新能源汽车和燃油汽车的情况，从某市众多4S店中任意抽取8个作为样本，对其在12月份的新能源汽车、燃油汽车销售量（单位：辆）进行调查.统计结果如下：
1店
2店
3店
4店
5店
6店
7店
8店
新能源汽车销售量
10
8
16
23
20
18
22
11
燃油汽车销售量
14
11
13
19
21
25
23
26
(1)若从该市众多门店中随机抽取1个，估计该门店12月份新能源汽车销售量超过燃油汽车销售量的概率；
(2)若从样本门店中随机抽取3个，其中12月份新能源汽车销售量不低于20辆的门店个数记为，求的分布列和数学期望；
(3)新能源汽车销售量和燃油汽车销售量的样本方差分别记为和.试比较和的大小.（结论不要求证明）
4．（2025北京通州高三上期末）为服务北京城市副中心三大文化建筑（北京艺术中心，北京城市图书馆和北京大运河博物馆）游客差异化出行需求，北京市交通委于2024年开通三大文化建筑周边自动驾驶微公交接驳服务.无人驾驶微公交每辆车满载可乘坐9名乘客，为预测未来某站点在客流量高峰期乘车人数的规律，收集了以往某个客流量高峰期连续20辆微公交的乘车人数数据.如下：
车次序号
乘车人数
110号
8
9
9
9
8
9
9
9
9
7
1120号
9
9
8
9
9
9
9
9
7
8
用频率估计概率.
(1)试估计该站点客流量高峰期微公交乘车人数为9人的概率；
(2)假设微公交乘车人数相互独立，记为未来该站点客流量高峰期两辆微公交乘车人数之和，求的分布列及数学期望；
(3)假设客流量高峰期该站点每辆微公交乘车人数只受前一辆微公交乘车人数影响，若该站点连续两辆微公交都满载9人的概率不低于，则需要缩短连续两辆微公交的时间间隔，判断公交公司在客流量高峰期是否需要缩短发车间隔.（写出结论，不用说明理由）
5．（2025北京东城高三上期末）某甜品