第PAGE1页/共NUMPAGES1页
2023-2025北京高三（上）期末数学汇编
函数的应用（二）（人教B版）
一、单选题
1．（2025北京昌平高三上期末）古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体生存时，其体内的碳14含量会保持在一定的水平，设为.当生物体死亡后，碳14会发生衰变，且碳14含量随时间（单位：年）的变化规律满足，其中是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5730年，即每经过5730年，碳14含量就会变为原来的.现古生物学家发现一个古生物化石，经测量该古生物化石碳14含量为.由此可以推断这个古生物的死亡时间点距今所经过的时间（单位：年）的大致范围是（????）
(参考数据:，)
A． B．
C． D．
2．（2025北京石景山高三上期末）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）.若该食品在的保鲜时间是194小时，在的保鲜时间是50小时，则该食品在的保鲜时间是（????）
A．20小时 B．22小时 C．24小时 D．26小时
3．（2025北京西城高三上期末）在光纤通信中，发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱，衰减后的光功率（单位：W）可表示为，其中为起始光功率（单位：W），为衰减系数，为接收信号处与发射器间的距离（单位：km）.已知距离发射器处的光功率衰减为起始光功率的一半.若当距离由km变到km时，光功率由变到，则（????）
A． B． C． D．
4．（2025北京东城高三上期末）已知．用表示中的最大值，设．若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
5．（2025北京东城高三上期末）近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一.现有一台计算机平均每秒可进行次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要次运算，则生成这个文案需要的时间约为（????）（本题取）
A．1秒 B．10秒 C．20秒 D．50秒
6．（2025北京东直门中学高三上期末）已知函数，，设，若存在，使得，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．（2024北京朝阳高三上期末）设函数的定义域为，则“”是“在区间内有且仅有一个零点”的（????）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024北京房山高三上期末）保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（参考数据：）（????）
A． B． C． D．
9．（2023北京海淀高三上期末）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（????）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2025北京房山高三上期末）已知函数，，给出下列四个结论：
①当时，方程有且只有一个实数根；
②当时，对任意，或；
③当时，对任意，；
④存在，对任意，.
其中正确结论的序号是.
11．（2024北京西城高三上期末）设，函数给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③当时，直线与曲线恰有3个交点；
④存在正数及点和，使.
其中所有正确结论的序号是.
参考答案
1．C
【分析】根据指数、对数的运算法则，结合题中所给的数据进行求解即可.
【详解】由题知，得，
两边同时取对数可得，故，.
令，得，
两边同时取对数可得，解得.
故选：C.
2．D
【分析】由题意列出方程组，求得参数，在代入求得保鲜时间.
【详解】由题意可知，
即，解得，即，
当时，，
故选：D.
3．A
【分析】根据给定的函数模型，代入列式，利用指数运算化简得答案.
【详解】依题意，，则，
由、，得，
所以.
故选：A
4．C
【分析】按，和三种情况分类讨论，将零点个数问题转化为一元二次方程在特定区间内解的个数问题即可求解.
【详解】当时，，所以在区间上无零点；
当时，，所以若在区间内存在零点，则，
当时，，
若即，则，
所以在区间内有两个零点，此时，矛盾；
若，即或时，，
所以在区间内有一个零点，
又因为，有两个零点，
当时，或，或，
此时的另一个零点为或，均不在区间内，
当时必须且只需即可（如图所示），
即，即，解得，
综上实数的取值范围为，
故选：C
5．B
【分析】根据题意，利用对数的运算计算与的商即可得解.