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第一章习题解答
1．利用玻尔——索末菲量子化条件，求
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场，玻尔磁子，试计算动能的量子化间隔，并与及的热运动能量相比较。
解：（1）方法一：玻尔——索末菲量子化条件为
1、2、3···
对于一维谐振子，，即
这是一个椭圆方程，半长轴，半短轴。
椭圆面积
由，得到能量量子化条件为
1、2、3···
方法二：因为一维谐振子的运动方程为，所以。利用量子化条件得
（2）电子在垂直于磁场方向的平面里以某一确定线速度作半径为的圆周运动，则广义动量——角动量是守恒量，与此广义动量相对应的广义坐标是。则
又，所以。因此电子轨道的可能半径为
1、2、3···
电子的动能
动能的量子间隔为
热运动能量为
2．应用玻尔——索末菲量子化条件，计算一个在铅直方向作弹性往复运动的小求的允许能级。
解：
的积分区：最高点，。所以的变域：。所以
3．应用玻尔——索末菲量子化条件，求限制在箱内运动的粒子的能量。箱的尺度为、、。
解：粒子在箱子内是自由的，动量是守恒量，在与箱碰撞时，动量反向，但数值不变，即弹性碰撞。选箱的三度为坐标轴，利用量子化条件
4．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长与温度成反比，即（常数）。并近似计算的数值，准确到两位有效数字。
解：由能量密度的公式：
则由解得：
即
令，则
解得
所以
5．在附近，钠的价电子能量约为，求其德布罗意波长。
解：
6．两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相同，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
解：两个光子转化为正负电子对，要求光子的最大波长，即要求产生的正负电子对静止，由能量守恒得
（是电子的静止质量）
第二章习题解答
1．设一粒子的状态用归一化波函数描述，问在薄立方体内找到粒子的几率。
解：因为粒子出现在体积元中的几率为，所以在内找到粒子的几率为
2．设粒子的状态用归一化波函数描述，问在球壳内找到粒子的几率。
解：因为粒子出现在点的领域内的几率为
所以在球壳内找到粒子的几率为
3对一维自由粒子
（a）设波函数为，试用哈密顿算符对运算，验证。说明动量本征态也是哈密顿量（能量）本征态，本征值为。
（b）设粒子在初始（）时刻，，求。
（c）设波函数为，可以看成无穷多个平面波的叠加，即无穷多个动量本征态的叠加。试问是否是能量本征态？
（d）设粒子在时刻，求。
解：（a）因为
所以
（b）因为是能量本征态，所以
（c）由于是无穷多个动量本征态的叠加，所以它也是无穷多个能量本征态的叠加，因此它不是能量本征态。
（d）因为，所以
因此
利用，得
4假设一个粒子的初始状态是两个定态的线性迭加：
（为使题目简单化，假设常数和是实数。）那么任意时刻的波函数是什么？求出几率密度并描述其运动形式。
解：
很显然，几率密度以正弦形式振动，角频率是；这当然不是一个定态。但是注意它是（具有不同能量的）定态的线性迭加，并且这种迭加会产生运动。
5在t=0时刻一粒子由下面的波函数描述
式中A、a和b是常数。（1）归一化（即求出以a和b表示的A）。（2）作为x的函数画出的草图。（3）在t=0时刻在哪里最有可能发现粒子？（4）在a的左边发现粒子的几率是多少?对b=a和b=2a两种极限情况验证你的结果。（5）x的期待值是多少?
解：（1）
（2）
（3）在处最有可能发现粒子。
（4）
当时，；当时，。
（5）
6一个自由粒子的初始波函数为
其中和是正的实常数。
（1）归一化。
（2）求出。
（3）以积分形式写出。
（4）讨论极限情况（很大和很小）。
解：（1）归一化
（2）
（3）
（4）当很大时，是一个尖锐的峰值，比较宽泛，即位置精确而动量很不确定；当很小时，范围较宽，是一个尖锐的峰值，即动量精确而位置很不确定。
第三章习题解答
1．一粒子在一维势场
中运动，求粒子的能级和对应的本征函数。
解：由方程
在及区域，，粒子不可能到达。即在及区域，。
在区域，。令，则方程变为
此方程的通解为
因为在处连续，即，所以。
因为在处连续，即，所以（）。因此
故
与相应的波函数为
由归一化条件得
所以
3一个处在一维无限深势阱中的粒子，其初始