（7）导数与函数的极值、最值
——高二数学人教B版(2019)选修三期末易错题集训
【易错知识点】
1.已知函数求极值：求求方程的根，列表检验在的根的附近两侧的符号，下结论.
2.求函数在上的最大值和最小值的步骤：
（1）若所给的闭区间不含参数，
①求函数在内的极值；
②求函数在区间端点的函数值，；
③将函数的极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（2）若所给的闭区间含有参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.
【易错题集训】
1.函数在上的极大值点为()
A.0 B. C. D.
2.函数的最小值是()
A. B. C. D.不存在
3.若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
4.已知函数，若对任意的，恒成立，则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
5.已知在区间内存在2个极值点，则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
6.已知，，，当时，恒成立，则的最小值为()
A. B. C. D.
7.（多选）设函数，则()
A.是的极小值点
B.的极大值为1
C.当时，
D.若，则
8.（多选）已知函数，则()
A.当时，是R上的减函数
B.当时，是的极小值点
C.当时，取到最小值
D.当时，恒成立
9.若函数在时取得极小值，则的极大值为__________.
10.已知曲线，直线.若当时，直线l恒在曲线C的上方，则实数k的取值范围是_________.
11.已知函数，若函数有零点，则实数a的取值范围为_________.
12.已知函数.
（1）设函数，求函数的极值；
（2）若不等式当且仅当在区间上成立（其中e为自然对数的底数），求ab的最大值；
（3）实数m，n满足，求证：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由题意得，，令，得.当时，；当时，.所以当时，取得极大值.
2.答案：C
解析：由题意得，.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.因此在处取得极小值也是最小值，且最小值为.
3.答案：C
解析：由题意得，，问题等价于关于x的方程在上有两个不同的实数根，
即关于x的方程在上有两个不同的实数根，
令，则，所以关于t的方程在上有两个不同的实数根，令，，作出的图象如图，
由图可知.故选C.
4.答案：B
解析：当时，恒成立，，即恒成立.
令，则.
设，有，，
当时，，在上单调递增，有，
所以时，，当且仅当时等号成立.
故，当且仅当，即时上式取得等号，由对数函数和一次函数的性质可知，方程显然有解，所以，得.故选B.
5.答案：B
解析：因为，可知在内有2个变号零点，
由可得，可知：与在内有2个交点，
又因为，
令，解得;令，解得;
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
且，，，
结合图象可得，所以实数a的取值范围为.
故选：B.
6.答案：A
解析：当时，原不等式化为恒成立，
令，，求导得，
由得，;由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，当时，，当时，，
则函数在上有两个零点，记为，，
显然当或时，，当时，
要使恒成立，则，也是的两个零点，
于是，，由，得，即，因此，
令，求导得，由，得，由得，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以的最小值为.
故选：A.
7.答案：AC
解析：，则，令，解得或，则函数在，上单调递增；令，解得，则函数在上单调递减，所以是的极小值点，当时，有极大值，为，所以A选项正确，B选项不正确；对于C，当时，，，，，由上可知，，所以C正确；对于D，因为，，所以若，则，所以D不正确，故选AC.
8.答案：ACD
解析：的定义域为R，.
对于A，当时，，则函数在R上单调递减，故A正确.
对于B，当时，令，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以为的极小值点，故B错误.
对于C，当时，令，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以函数的最小值为，故C正确.
对于D，由B选项知，函数在处取得最小值，则，若恒成立，则，即时，恒成立，令，，则，令，则，在上单调递增，令，则，在上单调递减，所以，所以恒成立，
所以当时，恒成立，故D正确.故选ACD.
9.答案：e
解析：，由题意得，解得，所以，
故当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为.
10.答案：
解析：当时，直线l恒在曲线C的上方，等价于当时，恒成立，即.设，则.当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以当时，取得最小值，所以.
11.答案：
解析：函数的定义域为.由，得，则函数有零点等价于关于x的方程在上有实数解.令，则.当时，；当时，.所以函数在上单调递增，在上单调递减.故时，函数取得最大