《高考数学综合复习》
《导数》篇
导数中的极值点偏移问题
一、基本概念
极值点偏移是指函数在其极值点左右两侧的增减速度不同，导致极值点位置偏离两零点中点的现象。在高考数学中常常作为导数解答题的最后一问，以证明题的形式进行考查。是否偏移及偏移判断方向如下：
（1）无偏移：二次函数的顶点（极值点）位于两根中点，满足对称性；
（2）左偏：若函数在极值点左侧变化更快，则（如）；
（3）右偏：若右侧变化更快，则（如）。
二、判定方法
1.导数单调性法：
若在左侧递增更快（左陡右缓），极值点左偏；
若在右侧递增更快（右陡左缓），极值点右偏。
2.中值比较定理：
对于方程的两根和，若或，则存在偏移。
三、解题策略与模板
（一）对称构造法：
1.适用类型：
对于要求证明和两类问题，可以利用此方法。
而对于（）或（）类型的证明问题，可以借助对数（和）进行化简后，再利用此方法进行解决，也可以利用“（差）比值代换法”进行解决。
2.步骤：
（1）求导分析：确定的单调区间和极值点。
（2）构造函数：如，通过比较的符号判断偏移方向。
若，则；
若，则。
（3）导数分析：证明的单调性，结合零点存在性定理得出结论。
3.易错点与注意事项
（1）忽略单调性分析：极值点偏移需先明确函数在极值点两侧的单调性，否则可能误判偏移方向。
（2）构造错误辅助函数：
对称构造应紧扣目标不等式形式，加法型需构造。
（3）对数应用错误：使用对数均值不等式时，需确保变量为正且不等号方向正确。
（二）比值代换法：
1.适用类型：
对于（）或（）类型或同时涉及指数、对数函数的证明问题，可以将或设置成参数，建立两根和之间的等量关系，即。
2.步骤：
（1）设定比值变量：令（或），结合原方程消去参数。
（2）代数变形：将双变量方程转化为关于的方程，例如，代入原方程化简。
（3）构造函数或应用不等式：
对数均值不等式：若涉及对数，利用进行放缩。
构造函数分析单调性：根据题目所给条件构造函数，通过导数判断其单调性，进而得出结论。
（4）得出结论：通过函数单调性或不等式变形，证明目标关系（如或）。
3.易错点与注意事项
（1）变量范围确定：代换后需明确新变量的范围，避免单调性分析错误。
（2）构造错误辅助函数：辅助函数需与目标不等式形式一致，例如乘除型构造。
（3）对数应用错误：使用对数均值不等式时，需确保变量为正且不等号方向正确。
四、方法对比与选择
1.差值代换（对称构造法）：适合处理加法型不等式（如或），计算相对直接。
2.比值代换法：适合处理乘除型或对数型问题，需结合对数均值不等式或指数变形。
通过灵活运用这两种方法，可将复杂的双变量问题转化为单变量分析，简化证明过程。
一、真题练习
1．（2022·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
2．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
二、预测分析
结合近年高考真题、地方模拟题及命题规律分析，未来几年极值点偏移问题的考查将呈现以下趋势：
（一）命题方向预测
1.复合函数模型的深化应用
未来命题可能更倾向于结合指数、对数、三角函数等复杂函数模型，例如：
（1）指数型：如、等，需通过比值代换或对数变形处理偏移。
（2）对数型：如，需利用对数均值不等式证明偏移关系。
2.与其他导数问题的综合考查
极值点偏移可能与其他导数核心问题结合，形成综合性压轴题，例如：
（1）零点问题：结合函数零点存在性定理，要求通过偏移证明零点间距或数量。
（2）含参不等式：引入参数讨论偏移方向，需同时处理单调性与参数范围。
3.结构创新与隐蔽性增强
命题可能通过以下方式增加题目难度：
（1）偏移方向隐蔽：如极值点左偏或右偏的判定需结合导数高阶分析（如二阶导数符号）。
（2）双极值点偏移：函数存在多个极值点时，需分析不同极值点间的偏移关系。
（二）核心解题方法的延续与拓展
1.对称构造法的持续主导
构造辅助函数或仍将是主流解法，需重点训练其变形应用（如含参函数构造）。
2.比值代换法的灵活运用
针对乘积型（如）或商式型偏移问题，需通过代换或简化双变量问题，结合对数变形或均值不等式证明。
3.对数均值不等式的工具化
该不等式的应用范围将进一步扩大，尤其在处理指数、对数型函数的偏移问题时不可或缺。
（三）备考策略与能力要求
1.基础能力强化
（1）导数工具熟练度：熟练掌握求导法则、极值点判定及单调性分析。
（2）函数图像分析：通过图像理解偏移本质（如左陡右缓导致左偏）。
2.专项题型突破
（1）分类训练：针对加法型（）、乘法型（）等题型进行专项训练。
（2）错题归纳：总结对称构造中辅助函数设计、比值代换中变量范围界定等易错点。
3.创新思维与应变