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2025北京高三（上）期末数学汇编
利用导数研究函数的性质（人教B版）
一、单选题
1．（2025北京通州高三上期末）已知函数，则（???）
A．是偶函数，且在上是增函数
B．是偶函数，且在上是减函数
C．是奇函数，且在上是增函数
D．是奇函数，且在上是减函数
2．（2025北京海淀高三上期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（???）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025北京石景山高三上期末）下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（????）
A． B． C． D．
4．（2025北京房山高三上期末）已知实数，满足，，给出下列三个结论：
①；②；③.
其中所有正确结论的序号是（???）
A．① B．② C．①③ D．②③
二、解答题
5．（2025北京昌平高三上期末）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求实数的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数的零点的个数.
6．（2025北京海淀高三上期末）已知函数.
(1)当时，求的定义域；
(2)若在区间上单调递减，求的取值范围；
(3)当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）
7．（2025北京房山高三上期末）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围；
(3)求证：存在实数，使方程有正实根.
8．（2025北京石景山高三上期末）设函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若存在两个极值点，证明：.
9．（2025北京通州高三上期末）已知在点处与轴相切.
(1)求的值；
(2)求的单调区间；
(3)若，求证.
10．（2025北京西城高三上期末）已知函数，其中.
(1)当时，求曲线在点处切线的方程；
(2)当时，证明：对任意的，曲线总在直线的下方；
(3)若函数有两个零点，且，求的取值范围.
11．（2025北京丰台高三上期末）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值；
(3)设函数，求证：的最小值大于.
12．（2025北京东城高三上期末）设函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值点个数；
(3)若时，，求的取值范围．
13．（2025北京朝阳高三上期末）已知函数，其中是常数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的极值．
参考答案
1．A
【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性．
【详解】函数的定义域是，关于原点对称，，
故函数是偶函数，
又因为，易知其为增函数，
当时，，
故在上是增函数，
故选：A．
2．C
【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】函数，求导得，
当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点；
若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得，
所以“”是“没有极值点”的充分必要条件.
故选：C
3．C
【分析】分别讨论各个选项中函数的定义域、奇偶性和单调性即能得到答案.
【详解】A选项：函数定义为，，是偶函数，A选项不正确；
B选项：函数定义为，，是奇函数，
函数在上单调递增，在上单调递减，B选项不正确；
C选项：函数定义为，，是奇函数，
因为，所以函数在定义域内单调递增，C选项正确；
D选项：函数定义为，，是奇函数，
因为在上单调递减，
所以函数在上单调递减，D选项不正确.
故选：C.
4．D
【分析】根据函数图象及反函数的概念确定的关系，即可得到；结合函数图象分析的范围即可得到；利用把不等式等价转化，通过构造函数求导即可证明不等式成立.
【详解】
如图，设函数与的图象交于点，函数与的图象交于点，
则点的横坐标为，即，点的横坐标为，即.
∵函数与互为反函数，与互为反函数，
∴点与点关于直线对称，
∴，②正确.
∵，，
∴，∴，①错误.
由得，∴等价于，
令，则，不等式等价于，
设，则，
∴在上为增函数，
∴，即，
∴，③正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把转化为函数图象交点的横坐标，利用反函数的概念得到的等量关系，逐个判断即可确定选项.
5．(1)
(2)单调增区间为，，单调减区间为
(3)三个零点
【分析】（1）由基本初等函数的求导公式与导数运算法则，结合导数的几何意义即可求解；
（2）由（1）可知函数，求导后解不等式与即可求得单调区间；
（3）函数可化为，结合（2）中函数的单调区间与零点存在性定理即可求解.
【详解】（1）函数，所以.
依题意，解得.
（2）由（1）知：函数，所以.
令，则，
记两根分别为，且，.
列表
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以，函数的单调增