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7.5正态分布
题型一正态分布密度曲线
1．某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为,则下列命题中不正确的是()
A.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
B.该市这次考试的数学平均成绩为80分
C.该市这次考试的数学成绩的标准差为10
D.可以简记为:数学成绩服从正态分布
答案：D
解析：由正态密度函数,可得,,则,
则分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同,故A正确;
该市这次考试的数学平均成绩为80分,故B正确;
该市这次考试的数学成绩的标准差为10,故C正确;
可以简记为:数学成绩服从正态分布,故D错误.
故选:D.
2．随机变量，已知其概率密度曲线所对应的函数在处取得最大值为，则()
附：，.
A.0.6827 B.0.84135 C.0.97725 D.0.9545
答案：B
解析：由题意得，，解得，所以，所以，故.故选B.
3．（多选题）已知随机变量X的概率密度函数为(,),且的极大值点为,记,,则()
A.B.C.D.
答案：BCD
解析：对于A,由随机变量X的概率密度函数为可得,
因为,所以,所以随机变量X服从正态分布,故错误;
对于B,因为二次函数在上递增,在上递减,
由函数在R上单调递增,根据复合函数的单调性可得(,)在上递增,在上递减,所以的极大值点为,所以,所以随机变量X服从正态分布,故正确;
对于C,因为,,又,
所以,即,故正确;
对于D,因为,,
所以,故正确;
故选:BCD
4．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则()
A. B.
C. D.
答案：A.
解析：正态分布密度函数为，则对应函数图象的对称轴为直线.
正态曲线关于直线对称，.
越小曲线越“瘦高”，
函数中的比函数中的要小，函数和的值相等.故选A.
5．李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他分别记录了50次坐公交车和50次骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，.X和Y的正态曲线如图所示.则下列结果正确的是()
A. B.
C. D.
答案：C
解析：对于A中，随机变量X服从正态分布，且，可得随机变量X的方差为，即，所以A错误；
对于B中，根据给定的正态曲线，可得随机变量，，所以，所以B错误；
对于C中，由正态曲线得当时，随机变量X对应的曲线与x轴所围成的面积小于时随机变量Y对应的曲线与x轴所围成的面积，所以，所以C正确；
对于D中，根据正态曲线，可得，，即，所以D错误.故选C.
题型二正态分布的概率
1．已知随机变量X服从正态分布，若，且，则()
A. B. C.0 D.
答案：C
解析：由题意知随机变量X服从正态分布，，
如图所示，结合，得，
可知a，关于对称，所以，解得，故选：C.
2．已知随机变量服从正态分布，若，则()
A.0 B.2 C.-1 D.-2
答案：D
解析：因为，，
所以，所以，解得.故选：D
3．（多选题）已知随机变量X服从正态分布，，a为大于0的常数，则下列结论中正确的是()
A. B.
C.越大，越小 D.
答案：AC
解析：对于A，因为a大于0，所以，故A正确；
对于B，因为，而，
所以，故B错误；
对于C，越大，正态分布曲线越矮胖，表示总体的分布越分散，故越小，故C正确；
对于D，由题可知，故，故D错误.
4．已知随机变量服从正态分布,,则__________.
答案：0.16
解析：由,知对称轴为直线，可知
.
5．如果随机变量，且，那么___________.
答案：0.4
解析：由正态曲线的对称性知，
.
题型三正态分布的实际应用
1．某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为()
A.200 B.150 C.250 D.100
答案：A
解析：因为数学考试成绩服从正态分布，
又，所以
则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为.故选：A.
2．某农业科学院培育脐橙新品种,新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布,现有该新品种脐橙10000个,估计单果质量不低于150g的脐橙个数为()
附：若,则,,
.
A.8413 B.9772 C.9974 D.9987
答案：D
解析：由可知,,,
则,
故单果质量不低于的脐橙个数约为.故选：D.
为了解某种农作物的生长情况,抽取了10000株作为样本,若该农作物的茎高X近似服从正态分布且.则该农作物茎高在范围