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7.1.2全概率公式
题型一全概率公式及其应用
1．某汽修厂仓库里有两批同种规格的轮胎,第一批占,次品率为;第二批占,次品率为.现从仓库中任抽取1个轮胎,则这个轮胎是合格品的概率是()
A.0.046 B.0.90 C.0.952 D.0.954
答案：D
解析：设事件A为抽中第一批,事件B为抽中合格品,
则.
故选：D.
2．某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为()
A. B. C. D.
答案：A
解析：设“学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升”为事件A，则，，
设“学生肥胖”为事件B，则，，
由全概率公式可得，
所以若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为.
故选：A
3．在2023亚运会中，中国女子篮球队表现突出，卫冕亚运会冠军，该队某球员被称为3分球投手，在比赛中，她3分球投中的概率为，非3分球投中的概率为，且她每次投球投3分球的概率为，则该球员投一次球得分的概率为()
A. B. C. D.
答案：C
解析：设事件A为“该球员投球得分”事件B为“该球员投中3分球得分”
由全概率公式：
故选：C
4．从数字1，2，3，4中随机取一个数字，记为n，再从数字1，2，…，n中随机取一个数字，则第二次取到的数字为2的概率是()
A. B. C. D.
答案：B
解析：记事件为“第一次取到数字n”，，2，3，4，事件B为“第二次取到的数字为2”，
由题意知，，，是两两互斥的事件，且（样本空间），
，
故选：B.
5．某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A,B两个箱子中,A箱中有6道选择题和3道论述题,B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题,作答完后再在此箱子中选取第二题作答,答题结束后将这两个题目放回原箱子.
(1)若同学甲从B箱中抽取了2题,求第2题抽到论述题的概率;
(2)若同学乙从A箱中抽取了2题,答题结束后误将题目放回了B箱,接着同学丙从B箱中抽取题目作答,求丙取出的第一道题是选择题的概率.
答案：(1)(2)
解析：(1)设事件表示“甲第i次从B箱中取到论述题”,,
则;
(2)设事件A为“丙从B箱中取出的第一道题是选择题”,
事件为“乙从A箱中取出2道选择题”,
事件为“乙从A箱中取出1道选择题和1道论述题”,
事件为“乙从A箱中取出2道论述题”,
则,,,
则
,即丙取出的第一道题是选择题的概率为.
题型二贝叶斯公式及其应用
1．一考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是()
A. B. C. D.
答案：B
解析：设A表示“考生答对”，B表示“考生知道正确答案”，
由全概率公式得.
又由贝叶斯公式得.
故选：B.
2．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了.从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5.最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9.已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是()
A. B. C. D.
答案：D
解析：设事件A表示“小孩诚实”，事件B表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，，
故，故.
故选：D
3．（多选题）某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则王同学()
A.第二天去甲游乐场的概率为0.63
B.第二天去乙游乐场的概率为0.42
C.第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
D.第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
答案：AC
解析：设：第一天去甲游乐场，：第二天去甲游乐场，：第一天去乙游乐场，：第二天去乙游乐场，依题意可得，，，，
对A，，A正确；
对B，，B错误；
对C，，C正确；
对D，，D错误