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7.4.1二项分布
题型一二项分布的公式
1．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点O出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则()
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意可知，当时，X的可能取值为1，3，5，且，
所以.
故选：C.
2．设随机变量，则等于（）
A． B． C． D．
答案：A
解析：∵随机变量（6，），∴==，
∴=
故选A．
3．有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则()
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为是有放回地取产品，所以每次取产品取到次品的概率为．从中取3次，X为取得次品的次数，则,
,故选D．
4．设随机变量,若,则的值为()
A. B. C. D.
答案：B
解析：因为随机变量,所以,
解得,所以,
则.
故选：B.
5．已知，则__________.
答案：
解析：.
6．城南公园种植了4棵棕榈树，每棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为，
设为成活棕榈树的株数，
（1）写出的分布列；
（2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率？
答案：（1）的分布列见解析（2）
解析：（1）由题意知，服从二项分布，即.且.
由于所有可能的取值为0，1，2，3，4，
所以，，
，，，
则的分布列为
0
1
2
3
4
P
（2）记“需要补种棕榈树”为事件A.
由（1）得，，所以需要补种棕榈树的概率为.
题型二二项分布的均值与方差
1．若随机变量Y服从二项分布,且,,则此二项分布是()
A. B. C. D.
答案：B
解析：随机变量Y服从二项分布，且，，
②除以①得，即，代入①解得,
此二项分布是，故选B.
2．已知随机变量X服从二项分布，则()
A. B. C. D.
答案：A.
解析：由随机变量X服从二项分布，得，
所以
故选：A.
3．已知随机变量，若，则()
A. B. C. D.
答案：D
解析：依题意X满足二项分布，且，即，，
即，解得，（舍去）.
故选：D
4．（多选题）下列结论正确的是()
A.若随机变量X服从两点分布，，则
B.若随机变量Y的方差，则
C.若随机变量服从二项分布，则
D.若随机变量服从正态分布，，则
答案：ACD
解析：对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确；
5．已知离散型随机变量,且,则=_________若,则_________.
答案：
解析：因为,,所以,解得,所以
又,所以.
题型三二项分布的实际应用
1．为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利40元，若产品不能销售，则每件产品亏损80元，已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则等于()
A. B. C. D.
答案：C
解析：由题意得该产品能销售的概率为，
易知X的取值范围为，
设表示一箱产品中可以销售的件数，则，
所以，，1，2，3，4，
所以，
，
，
故.
故选：C.
2．某同学参加篮球测试，老师规定每个同学罚篮10次，每罚进一球记5分，不进记-1分.已知该同学的罚球命中率为，并且各次罚球互不影响，则该同学得分的数学期望为()
A.30 B.36 C.20 D.26
答案：D
解析：记该同学罚球命中的次数为X，则，.
记该同学的得分为Y，则有，该同学得分的数学期望为.
故选D.
3．（多选题）一个袋子中有大小、形状完全相同的2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，取到黑球记1分，记4次取球的总分数为X，则()
A. B. C. D.
答案：ACD
解析：根据题意，在一次试验中，取到黑球的概率为，则，故A正确；，故B错误；，故C正确；
，故D正确.
故选ACD.
4．袋中装有6个白球,3个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.
（1）若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为X,求X的分布列？
（2）若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列？
答案：（1）分布列见解析;（2）分布列见解析.
解析：（1）由题意可知X的可能取值为0,1,2,3,,
所以,X的分布列为:
X
0
1
2
3
P
（2）有放回地抽取3次,可看作3次独立重复试验,每次抽取到黑球的概率均为,
由题意可知Y的可能取值为0,1,2,3,,
所以,Y