第18讲数的整除性
知识概述
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如果整数a除以不为零的整数b,所得的商为整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。如果a能被b整除，那么,b叫做a的因数，a叫做b的倍数。
下面我们给出数的整除的几个重要的性质：
1.如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(ab)也能被c整除。
2.如果数a能被b整除，c为整数，则积ac也能被b整除。
3.如果数a能同时被数b、c整除，且b、c互质，则a一定能被b、c之积整除。
例题
例题精学
例1在□内填上适当的数，使六位数32787□能被4或25整除。
【思路点拨】末位填4这个数就可以被4整除，填上5就可以被25整除。个数要能被4或25整除，应该看这个数的末两位，而不是像能被2(或5)整除的数那样看末位。末两位是7□,要能被4整除，是否可以填0、2、4、6、8?要能被4整除，0、4和8是不可以填的，只可以填2或6;要能被25整除，就只可以填5。
例题
例题精学
例2六位数3ABABA是6的倍数，这样的六位数有多少个(A、B可以相同)?
【思路点拨】六位数3ABABA是6的倍数，就是说它能被6整除，因为6=2x3,所以和能否被2和3整除有关系。要使这个六位数能被2整除，A可取0,2,4,6,8五个数。这个六位数的和是3+A+B+A+B+A=3×(A+1)+2B,3×(A+1)的乘积可以被3整除，2B在B是0,3,6,9的情况下可以被3整除，它们的和也就可以被3整除。
例题
例题精学
例3在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小。
【思路点拨】能被5整除的数，末位是0或5,要使这个数尽可能小，就要尽可能地填0。百位数字和个位数字一样，也应选0,这样，已知的五个数字和就是8+6+5+0+0=19。19不能被3整除，要使它能被3整除，应该加上2,5,8。还要考虑能被4整除，这个数的末两位就要能被4整除，再按题意，要求尽可能小，所以十位上就要填2。
例题
例题精学
例4六位数12□34□是88的倍数，这个数除以88所得的商是多少?
【思路点拨】88=8×11,8和11互质，也就是说这个六位数既是11的倍数也是8的倍数。一个数的末三位能被8整除，这个数就能被8整除，也就是说34□中只能填4。什么样的数可以被11整除呢?一个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除，这个数就能被11整除。现在奇数位上是2+3+4=9,偶数位上是1+□+4=5+□,它们的差是9(5+□)=4□，要使4□能被11整除，这个结果只能是0,这样□中就应该填4。
例题
例题精学
例5一个三位数减去它的各位数字之和，其差还是一个三位数73□。问：□里的数字是几?
【思路点拨】这个三位数我们可以假设为abc这个三位数的各位数字之和就是a+b+c。这样就可以知道abc和a+b+c之和的差是多少了。abc=100a+10b+c,abc(a+b+c)=100a+10b+c(a+b+c)=99a+9b=(11a+b)×9很明显，(11a+b)×9一定是9的倍数，这也说明73□必是9的倍数，□中填8。
同步精练
同步精练
1.在358的后面补上3个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且使这个数值尽可能小。
2.在□里填上合适的数字，使□895□能被8、9整除。
3.有一个四位数3AA1,它能被9整除。A代表的数字是几?
4.1～100的自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少?
5.用0、1、3、5、7这五个数字中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少?
6.173□是个四位数。王老师说：“我在这个数的□中先后填入3个数，所得的3个四位数依次能被7、11、6整除。”王老师先后填入的3个数字的和是多少?
7.小王买了3支铅笔、5支圆珠笔、4本笔记本和3块橡皮，总共用去20元钱。已知铅笔4角一支，圆珠笔1元5角一支，笔记本2元4角一本。问，售货员阿姨的账有没有算错?
8.用1、2、3、4、5、6、7、8、9(每个数字用一次)组成3个能被9整除的三位数。如果这3个数的和最大，这3个三位数是多少?
9.一个无重复数字的五位数3□6□5能被75整除，这样的五位数有哪几个?
课后作业
课后作业
1.在□内填上适当的数，使六位数32787□能被4整除。
2.在□里填上合适的数，使□895□能被8、9整除。
3.在1～100的自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少?
4.有一个四位数3AA1,它能被9整除。A代表的数字是几?
5.用0,1,3,5,7这五个数字中的四个数字，可以组成许多能被11整除的四位数，其中最小的一个四位数是多少?
6.四位数7a2b能被2、