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重难点培优专题：二项式定理
二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0?Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数?Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数?Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数?Tr＋1是有理项．
注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．
二项展开式的通项
二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.
二项式系数的性质
二项式系数的性质
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
增减性
当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；
当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小
最大值
当n是偶数时，中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；
当n是奇数时，中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或
题型一：求二项展开式
【解题技巧】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项：可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数值，再写出第项，由特定项得出值，最后求出其系数.
【例题1-1】．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为.（用数字作答）
【变式1-1】．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式.
【变式1-2】．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式．
(1)写出当时的展开式；
(2)写出当时所有的有理项．
【变式1-3】．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式；
（2）化简：.
题型二：二项展开式的应用
【例题2-1】．（24-25高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（???）
A． B． C． D．
【例题2-2】．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（????）
A． B．
C． D．
【变式2-1】．（2024·江西新余·模拟预测）在正整数集中，，表示代数式的余数为（正负号不影响该关系），反之记作.艾森斯坦判别法可用于判定一个多项式能否在有理数范围内因式分解，方法如下：对于多项式：.若存在素数（只有和自身两个因数的数）满足：①，②，③，则原多项式不能在有理数范围内因式分解.值得注意的是，若不存在这样的，则无法判断该多项式能否在有理数范围内因式分解.已知多项式（为奇素数），由艾森斯坦判别法，有：（?????）
A．对于，多项式总不能在有理数范围内因式分解
B．某些，多项式能在有理数范围内因式分解
C．对于，多项式能否在有理数范围内因式分解均无法判断
D．某些，多项式能否在有理数范围内因式分解无法判断
【变式2-2】．（24-25高二上·辽宁·期末）在探究的展开式的二项式系数性质时，我们把二项式系数写成一张表，借助它发现二项式系数的一些规律，我们称这个表为杨辉三角（如图①，小明在学完杨辉三角之后进行类比探究，将的展开式按的升幂排列，将各项系数列表如下（如图②）：
上表图②中第行的第个数用表示，即展开式中含项的系数为，则（????）
A．
B．
C．（，）
D．
【变式2-3】．（23-24高二下·安徽蚌埠·期中）已知，其中是关于的多项式，则;
【变式2-4】．（23-24高二下·河北沧州·期中）“算两次”是一种重要的数学方法，也称做富比尼（G.Fubini）原理．“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《