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重难点培优专题：二项式定理
二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).
若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论：
(1)h(r)＝0?Tr＋1是常数项．
(2)h(r)是非负整数?Tr＋1是整式项．
(3)h(r)是负整数?Tr＋1是分式项．
(4)h(r)是整数?Tr＋1是有理项．
注1．二项式的通项易误认为是第k项，实质上是第k＋1项．
注2．易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)．
二项展开式的通项
二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.
二项式系数的性质
二项式系数的性质
性质
内容
对称性
与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即
增减性
当k＜eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐增大；
当k＞eq\f(n＋1,2)时，二项式系数逐渐减小
最大值
当n是偶数时，中间一项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1项))的二项式系数最大，最大值为；
当n是奇数时，中间两项eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n－1,2)＋1项和第\f(n＋1,2)＋1项))的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为或
题型一：求二项展开式
【解题技巧】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：
(1)求展开式中的特定项：可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可；
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数：可由某项得出参数值，再写出第项，由特定项得出值，最后求出其系数.
【例题1-1】．（24-25高三上·北京·期中）在的展开式中，常数项为.（用数字作答）
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式、求指定项的系数
【分析】根据二项式定理的通项公式，利用项的指数为即为常数项.
【详解】由的展开式的通项为，
令，，则，
即在的展开式中，常数项为，
故答案为：.
【变式1-1】．（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式
【分析】直接根据二项式定理展开求解即可.
【详解】因为的展开式的通项为，
所以.
故答案为：
【变式1-2】．（24-25高二上·甘肃白银·阶段练习）已知二项式．
(1)写出当时的展开式；
(2)写出当时所有的有理项．
【答案】(1)
(2)，，
【难度】0.85
【知识点】求二项展开式、求有理项或其系数
【分析】（1）根据二项式定理展开即可；
（2）写出通项，依次列出有理项即可.
【详解】（1）
（2）因为当时，二项式的通项为，
所以当时，；当时，；当时，．
所以当时，所有的有理项为，，
【变式1-3】．（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式；
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式
【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得；
（2）逆用二项式定理化简即可.
【详解】方法一??：
.
方法二：??
.
（2）原式
.
题型二：二项展开式的应用
【例题2-1】．（24-25高三上·北京通州·期末）在二项式的展开式中，常数项为（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】二项展开式的应用、求二项展开式的第k项
【分析】求出通项，找到常数项即可.
【详解】的通项公式为，
常数项时，则，
所以常数项为，
故选：D.
【例题2-2】．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）对于次二项式，取，可以得到．类比此方法，可以求得（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用
【分析】取分别赋值，作差后化简即可得解.
【详解】由题意可得，
令，得，
令，得，
两式作差，可得，
故．
故选：B．
【变式2-1】．（2024·江西新余·模拟预测）在正整