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第六章：计数原理
（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________班级_________考号_______________________
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）不等式的解集是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】排列数方程和不等式
【分析】利用排列数公式化简并求解不等式.
【详解】不等式中，，化为，
整理得，解得，因此，
所以不等式的解集是.
故选：A
2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）（????）
A．84 B．83 C．70 D．69
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】组合数的性质及应用
【分析】根据组合数的性质来求得正确答案.
【详解】
.
故选：D
3．（24-25高二上·湖南·期中）某学校高二年级拟举办艺术节，要求各班级从《黄河大合唱》，《我和我的祖国》，《北京欢迎你》，《我爱你中国》和《我们走在大路上》这五首指定曲目中任选一首作为表演节目，则高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为（???）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.94
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率
【分析】理解题意，利用分步乘法计数原理和古典概型概率公式计算即得.
【详解】高二（1）班与高二（2）班分别从这五首曲目中任选一首作为表演节目的方法数有种，
而要使两个班抽到不同曲目，可分步完成：
先让高二（1）班选一首有5种方法，再由高二（2）班从余下的4首曲目中选一首，有4种方法，
由分步乘法计数原理，可知方法数有种.
由古典概型概率公式，可得高二（1）班与高二（2）班抽到不同曲目的概率为.
故选：D.
4．（2023·四川乐山·一模）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字4，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（???）
4
A．70 B．120 C．140 D．144
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】元素（位置）有限制的排列问题
【分析】根据排列的知识求得正确答案.
【详解】比小的有，共个，从中选出个排在的右边和下方，方法数有种，
比大的有，共个，从中选出个排在的左边和上方，方法数有种，
所以不同的填法种数为种.
故选：B
5．（23-24高二下·福建泉州·期末）如图为某公交线路图的一部分，现在6名同学从安一中站点上车，分组到人民银行、实验小学、凤山公园、凤山书院4个站点参加公益宣传活动，每个站点至少一人，且实验小学站至少2人，则下车的不同方案种数为（????）
A．120 B．480 C．540 D．660
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题
【分析】分别考虑实验小学站2人，实验小学站3人，根据分组分配问题，结合排列组合即可求解．
【详解】当实验小学站2人，种．
实验小学站3人，种．
则下车的不同方案种数为．
故选：D．
6．（23-24高二下·天津滨海新·期中）已知展开式的第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（???）
A． B．252 C． D．28
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数
【分析】根据组合数的性质可得最大，进而得，即可根据通项公式求解.
【详解】由于展开式的第5项的二项式系数为最大，故，
展开式中的系数为，
故选：B
7．（23-24高二下·河南商丘·期中）数学中“凸数”是一个位数不低于3的奇位数，是最中间的数位上的数字比两边的数字都大的数，则没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为（????）
A．147 B．112 C．65 D．50
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题
【分析】根据给定条件，结合“凸数”的意义，利用分类加法计数原理求解即得.
【详解】最高位是5的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；
最高位是6的“凸数”，中间数分别为7，8，9，分别有6，7，8个，共有21个；
最高位是7的“凸数”，中间数分别为8，9，分别有7，8个，共有15个；
最高位是8的“凸数”，中间数为9，有8个，
所以没有重复数字且大于564的三位数中“凸数”的个数为.
故选：C
8．（23-24高二上·辽宁·期末）某校高三年级有8名同学计划高考后前往