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6.3.2二项式系数的性质
题型一二项式系数的最值问题
1．（23-24高二下·重庆·期中）的展开式中，二项式系数最大的项是第（????）项
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由二项式定理知其展开式有21项，
根据二项式系数的性质可知二项式系数最大项为第11项.故选：C
2．（24-25高二上·山东德州·月考）的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】展开式的通项公式为，
所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列，
所以，，即，整理可得，
由题意可知，且，解得，
故解得，二项式系数的最大值为．故选：.
3．（24-25高二上·江西南昌·月考）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（????）
A．8 B．7 C．6 D．9
【答案】C
【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，
则二项式的展开式共项，即，解得.故选：C.
4．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）（多选）若的展开式中第5项的二项式系数最大，则的可能取值为（????）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】AB
【解析】A选项，此时展开式有9项，第5项二次项系数最大，故满足题意，故A正确；
B选项，此时展开式有10项，第5项二次项系数，
第6项二次项系数最大且相等，故满足题意，故B正确；
C选项，此时展开式有11项，第6项二次项系数最大，不满足题意，故C错误；
D选项，此时展开式有12项，第6项二次项系数，
第7项二次项系数最大且相等，不满足题意，故D错误.故选：AB.
题型二展开式系数最值问题
1．（24-25高二上·上海松江·月考）的二项展开式中系数最大的项是（????）
A．第n项 B．第n＋1项
C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定
【答案】B
【解析】的二项展开式中共有项，
中间第n＋1项为系数最大项.故选：B
2．（23-24高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（????）
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项
【答案】B
【解析】的通项公式为,
根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大，
第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大故选：B
3．（23-24高二下·江苏泰州·月考）的二项展开式中系数最大的项为第（????）项
A．2 B．3 C．4 D．2或3
【答案】B
【解析】的展开式通项公式为，
设第项为系数最大的项，则有，解得，即.故选：B
4．（23-24高二下·重庆·月考）已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（????）项
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题意二项式系数仅最大，故，
所以二项式为，其通项公式为，
设二项式展开式中第项的系数最大，则有，
，即，故，经经验符合题意，
所以展开式中系数最大的项是第3项.故选：B.
题型三利用赋值法解系数问题
1．（24-25高二上·福建龙岩·月考）设，则（????）
A．1 B． C．-2 D．2
【答案】B
【解析】令x=1，则，故选：B.
2．（23-24高二下·江苏南京·月考）已知，则；
【答案】127
【解析】因为，令，则；
表示展开式中各项系数和，
则，
因为，则；
故答案为：；127.
3．（23-24高二下·浙江金华·月考）已知，则的值是（????）
A．680 B． C．1360 D．
【答案】B
【解析】令，则，即
令，则，
即，
两式相加可得，故选：B
4．（23-24高二下·山东菏泽·月考）已知，则（????）
A．9 B．10 C．19 D．29
【答案】C
【解析】因为，
所以
分别对两边进行求导得
，
令，得，
所以，故选：C
题型四利用二项式定理解整除或求余问题
1．（24-25高二上·黑龙江双鸭山·月考）被8整除的余数为（????）
A．4 B．6 C．7 D．5
【答案】C
【解析】由
，
所以被8除所得的余数是7.故选：C.
2．（23-24高二下·广东汕尾·月考）今天是星期三，再过天是星期（????）
A．一 B．二 C．四 D．五
【答案】C
【解析】所以，
所以除以的余数为，
今天是星期三，再过天是星期四.故选：C．
3．（23-24高三下·湖北荆州·三模）已知，则被3除的余数为（????）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】令，得，令，得，
两式相减，，
因为，
其中被3整除，所以被3除的余数为1，
综上，能被3整除．故选：D.
4．（23-24高二下·广西崇左·月考）中国南北朝时期的著作《孙子算经