一元一次方程知识点
一元一次方程的定义
一元一次方程是指只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。其一般形式为\(ax+b=0\)（\(a\neq0\)），其中\(a\)是未知数的系数，\(b\)是常数项。例如，\(2x+3=5x-1\)就是一个典型的一元一次方程，它只含有一个未知数\(x\)，且\(x\)的次数为1。
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。对于一元一次方程来说，一般只有一个解。比如对于方程\(2x+3=5x-1\)，当\(x=\frac{4}{3}\)时，方程左边\(=2\times\frac{4}{3}+3=\frac{8}{3}+3=\frac{17}{3}\)，方程右边\(=5\times\frac{4}{3}-1=\frac{20}{3}-1=\frac{17}{3}\)，左边等于右边，所以\(x=\frac{4}{3}\)就是方程\(2x+3=5x-1\)的解。
等式的性质
1.性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果\(a=b\)，那么\(a\pmc=b\pmc\)。例如，已知\(x=5\)，在等式两边同时加3，得到\(x+3=5+3\)，即\(x+3=8\)。
2.性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果\(a=b\)，那么\(ac=bc\)；如果\(a=b\)（\(c\neq0\)），那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)。例如，若\(2x=6\)，等式两边同时除以2，根据性质2可得\(\frac{2x}{2}=\frac{6}{2}\)，即\(x=3\)。
一元一次方程的解法
1.去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。例如，对于方程\(\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}=1\)，分母2和3的最小公倍数是6，方程两边同时乘以6，得到\(6\times\frac{x}{2}-6\times\frac{x-1}{3}=6\times1\)，即\(3x-2(x-1)=6\)。
2.去括号：利用乘法分配律去掉括号。如上面得到的\(3x-2(x-1)=6\)，去括号后变为\(3x-2x+2=6\)。
3.移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边。注意移项要变号。对于\(3x-2x+2=6\)，移项后得到\(3x-2x=6-2\)。
4.合并同类项：将同类项进行合并。上式\(3x-2x=6-2\)合并同类项后为\(x=4\)。
5.系数化为1：在方程两边同时除以未知数的系数，得到方程的解。这里\(x=4\)已经是最简形式，系数为1，无需再进行操作。
一元一次方程的应用
1.行程问题：基本公式为路程=速度×时间。常见的类型有相遇问题和追及问题。
-相遇问题：两者路程之和等于总路程。例如，甲、乙两人相距100千米，甲的速度是20千米/小时，乙的速度是30千米/小时，两人相向而行，设\(x\)小时后相遇，则可列方程\(20x+30x=100\)。
-追及问题：两者路程之差等于初始距离。比如，甲在乙前面10千米处，甲的速度是5千米/小时，乙的速度是7千米/小时，设\(y\)小时后乙追上甲，可列方程\(7y-5y=10\)。
2.工程问题：基本公式为工作量=工作效率×工作时间。若一项工程甲单独做需要\(a\)天完成，乙单独做需要\(b\)天完成，两人合作\(x\)天完成这项工程，则可列方程\((\frac{1}{a}+\frac{1}{b})x=1\)。
3.销售问题：基本公式有利润=售价-进价，利润率=\(\frac{利润}{进价}\times100\%\)。例如，某商品进价为100元，售价为120元，则利润为\(120-100=20\)元，利润率为\(\frac{20}{100}\times100\%=20\%\)。若已知进价和利润率，求售价，设售价为\(x\)元，可列方程\(\frac{x-100}{100}=20\%\)。
一元一次方程作为方程体系的基础，掌握其相关知识