一元二次方程知识点
一元二次方程的定义
一元二次方程是只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程。其一般形式为\(ax2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），其中\(a\)是二次项系数，\(b\)是一次项系数，\(c\)是常数项。需要特别注意的是，\(a≠0\)这个条件，若\(a=0\)，方程就不再是一元二次方程，而是一元一次方程。
一元二次方程的解法
1.直接开平方法：适用于形如\((x+m)2=n\)（\(n≥0\)）的方程。根据平方根的定义，\(x+m=±\sqrt{n}\)，然后解这两个一元一次方程\(x+m=\sqrt{n}\)和\(x+m=-\sqrt{n}\)，就可得到方程的解\(x=-m±\sqrt{n}\)。
2.配方法：
-先将方程\(ax2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）移项，把常数项移到等号右边，得到\(ax2+bx=-c\)。
-再将二次项系数化为1，方程两边同时除以\(a\)，得到\(x2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}\)。
-然后在方程两边加上一次项系数一半的平方\((\frac{b}{2a})2\)，将左边配成完全平方式\((x+\frac{b}{2a})2=\frac{b2-4ac}{4a2}\)。
-最后用直接开平方法求解。
3.公式法：对于一元二次方程\(ax2+bx+c=0\)（\(a≠0\)），其求根公式为\(x=\frac{-b±\sqrt{b2-4ac}}{2a}\)。其中，\(\Delta=b2-4ac\)叫做根的判别式。当\(\Delta＞0\)时，方程有两个不相等的实数根；当\(\Delta=0\)时，方程有两个相等的实数根；当\(\Delta＜0\)时，方程没有实数根。
4.因式分解法：将方程右边化为0，左边通过因式分解化为两个一次因式的乘积形式，即\((x-x?)(x-x?)=0\)，那么\(x-x?=0\)或\(x-x?=0\)，从而求出方程的解\(x=x?\)或\(x=x?\)。常见的因式分解方法有提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）等。
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果一元二次方程\(ax2+bx+c=0\)（\(a≠0\)）的两根为\(x?\)和\(x?\)，那么\(x?+x?=-\frac{b}{a}\)，\(x?·x?=\frac{c}{a}\)。利用韦达定理可以不解方程，直接求出两根之和与两根之积，在求方程中的参数、检验方程的根等方面有广泛应用。例如，已知方程的一个根，可利用韦达定理求出另一个根以及方程中的参数值。
一元二次方程的应用
1.传播问题：例如流感传播问题，设每轮传染中平均一个人传染\(x\)个人，开始有1个人患流感，第一轮后共有\((1+x)\)人患流感，第二轮后共有\((1+x)+x(1+x)=(1+x)2\)人患流感，根据题目中的条件列出方程求解。
2.增长率问题：设平均增长率为\(x\)，增长前的量为\(a\)，经过\(n\)次增长后的量为\(b\)，则有\(a(1+x)?=b\)。若为平均降低率问题，公式为\(a(1-x)?=b\)，其中\(x\)为平均降低率。
3.几何图形问题：根据几何图形的面积公式、周长公式等建立方程。比如矩形面积问题，已知矩形的长和宽的关系以及面积，可设未知数，利用矩形面积公式列出一元二次方程求解。
4.销售利润问题：涉及售价、进价、销售量、利润等关系。利润=（售价-进价）×销售量，根据题目给定的条件，如价格调整对销售量的影响等，设出合适的未知数，列出方程求解利润最大时的售价或销售量等问题。