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7.4.2超几何分布
题型一超几何分布的公式
1．有10件产品,其中3件是次品,从中任取两件,若表示取得次品的件数,则()
A. B. C. D.1
答案：C
解析：依题意,,,
所以.
故选：C.
2．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列概率等于的是()
A.至少有1个深度贫困村 B.有1个或2个深度贫困村
C.有2个或3个深度贫困村 D.恰有2个深度贫困村
答案：B
解析：用X表示这3个村中深度贫困村数，X服从超几何分布，则.所以，，，.因为，所以有1个或2个深度贫困村.故选B.
3．（多选题）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()
A.取出的白球个数X服从二项分布
B.取出的黑球个数Y服从超几何分布
C.取出2个白球的概率为
D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为
答案：BD
解析：对于A，B，取出的白球个数X，黑球个数Y均服从超几何分布，故A错误，B正确；
对于C，取出2个白球的概率为，故C错误；
对于D，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则取出4个黑球的总得分最大，总得分最大的概率为，故D正确.故选BD.
4．学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的教师中女教师的人数为X，则_________.
答案：
解析：由题意可得，，
所以.
5某校高一、高二的学生组队参加辩论赛，高一推荐了3名男生、2名女生，高二推荐了3名男生、4名女生.推荐的学生一起参加集训，最终从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队.
（1）求高一至少有1名学生入选代表队的概率？
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列？
答案：（1）（2）X的分布列见解析
解析：（1）高一、高二共推荐6名男生和6名女生，
高一没有学生入选代表队的概率为，
所以高一至少有1名学生入选代表队的概率为.
（2）根据题意可知，X的所有可能取值为1，2，3.
，，，
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
6．某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，某人只能答对10道题目中的6道.
（1）求在抽出的3道题目中，他能答对的题目数的分布列？
（2）求他能通过初试的概率？
答案：（1）分布列见解析（2）
解析：（1）设随机抽出的3道题目中，他能答对的题目数为X，则，且X服从超几何分布，
，，，，
则X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（2）要至少答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，即答对其中2道和答对3道，这两种情况是互斥的，
根据（1）的计算可得.
题型二超几何分布的均值
1．某学校要从10名候选人中选2名同学组成学生会，其中高二（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高二（1）班的候选人的人数，则()
A. B. C. D.
答案：D
解析：方法一：由题意得随机变量，则.
方法二：，，
，，
则X的分布列为
X
0
1
2
P
.故选D.
2．从装有6个白球，2个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球.若每取出1个红球得2分，每取出1个白球得1分.按照规则从容器中任意抽取2个球，所得分数的期望为()
A. B.3 C. D.
答案：A
解析：设得分为X，根据题意X可以取4，3，2.
则，，，
则X的分布列为：
X
4
3
2
P
所以得分期望为.故选A.
3．（多选题）若10件产品中有4件次品和6件正品.现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量X，则下列结论正确的是()
A.若是有放回的抽取，则
B.若是无放回的抽取，则
C.无论是有放回抽取还是无放回的抽取，X的数学期望相等
D.无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，X的方差相等相等
答案：BC
解析：若是有放回的抽取，则，则，
，，故A错误；
若是无放回的抽取，则X可能取0，1，2，3，
其对应的概率为，，
，，
，
.
故B、C正确，D错误；故选：BC.
4．袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的数学期望__________.
答案：或1.5
解析：若黑球数小于,则至少得到一个白球的概率为1,矛盾,
设有个黑球,则,解得满足题意,
由题意白球的个数为X服从超几何分布,
所以随机变量X的数学期望为.
故答案为:.
5．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，