专题五解析几何
高考解答题专讲(五)圆锥曲线的综合应用
一、圆锥曲线中的范围、最值问题
解决有关范围、最值问题时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解．
(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；
(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系；
(3)利用隐含的不等关系，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．
[思维流程]
(1)eq\x(EB∥AC)―→eq\x(|EB|＝|ED|)―→eq\x(|EA|＋|EB|＝4)eq\o(――→,\s\up17(定义法))eq\x(点E的轨迹方程)
(2)eq\x(\a\al(设直线l方,程并联立))―→eq\x(\a\al(根与系数,的关系))―→eq\x(求|MN|)―→eq\x(求|PQ|)―→eq\x(面积S用k表示)―→eq\x(\a\al(利用函数知,识求范围))
[解](1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC.
所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1,0)，B(1,0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k?x－1?，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝eq\f(8k2,4k2＋3)，x1x2＝eq\f(4k2－12,4k2＋3)，
所以|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\f(12?k2＋1?,4k2＋3).
过点B(1,0)且与l垂直的直线m：y＝－eq\f(1,k)(x－1)，A到m的距离为eq\f(2,\r(k2＋1))，所以|PQ|＝2eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(k2＋1))))2)＝4eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1)).
故四边形MPNQ的面积S＝eq\f(1,2)|MN||PQ|
＝12eq\r(1＋\f(1,4k2＋3)).
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8eq\r(3))．
当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12,8eq\r(3))．
解圆锥曲线范围、最值问题的要点
求解范围或最值问题的关键是建立关于求解某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．
[对点训练]
1．(2017·安徽皖西南十校期末联考)已知右焦点为F2(c,0)的椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，且椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))作直线l与椭圆C交于E，F两点，线段EF的中点为M，点A是椭圆C的右顶点，求直线MA的斜率k的取值范围．
[解](1)∵椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，①
∵椭圆C关于直线x＝c对称的图形过坐标原点，∴a＝2c
∵a2＝b2＋c2，∴b2＝eq\f(3,4)a2，②
由①②得a2＝4，b2＝3，
∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.
(2)依题意，直线l过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))且斜率不为零，故可设其方程为x＝my＋eq\f(1,2).
由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(1,2)，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝12))消去x，并整理得4(3m2＋4)y2＋12my－45＝0.
设E(x1，y1)，F(x2，y2)，M(x0，y0)
∴y1＋y2＝－eq\f(3m,3m2