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文档摘要

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3.5单调性与不等式本节重点介绍如何利用函数的单调性证明不等式,其理论基础仍然是拉格朗日中值定理.证1由上式得拉格朗日中值定理的条件,例1证明当

证2现只证当又因即

证则于是例2证明当

例3证明当证则即

即(1)式成立.证例4证明不等式原不等式等价于设

例5设证明:其中

证则于是(1)得证;(1)不妨设

(2)由(1)有再由数学归纳法,(2)得证.(2)式称为詹生(Jensen)不等式.

特别地,取取即

即“调和平均-几何平均-算术平均”不等式.用可得

例6证明杨氏不等式证1即得其中因此

证2即得杨氏不等式.于是原不等式等价于等价于

注令由杨氏不等式得

称为Cauchy-Schwarz(柯西-许瓦兹)不等式.即上式称为H?lder不等式.或