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重难点培优专题：正态分布的综合应用
知识点一正态曲线与正态分布
1．我们称f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．
特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．
3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
知识点二正态曲线的特点
1．对?x∈R，f(x)0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1.
3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).
5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
知识点三正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．
题型一：正太密度函数
【例题1-1】．（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（????）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质、指定区间的概率
【分析】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，
所以平均数为，方差为，所以AB选项正确.
依题意，
而，即，所以C选项错误.
，所以D选项正确.
故选：C
【变式1-1】．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（??）
A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】正态密度函数
【分析】
将化为正态密度函数的定义形式，即可求出.
【详解】，
.
故选：B.
【变式1-2】．（2023高三下·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】正态密度函数、3δ原则
【分析】计算，可判断函数的对称性，再计算，即可排除选项.
【详解】或，因为，
所以或，即或，
或或
因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC；
当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B；
故选：D
题型二：正态曲线的性质
【例题2-1】．（22-23高二下·陕西宝鸡·期末）已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（?????）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】正态密度函数、正态曲线的性质
【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论.
【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义，
结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得；
且都在的右侧，即，
比较和图像可得，其形状相同，即，
又的离散程度比和大，所以可得；
故选：B
【变式2-1】．（23-24高三上·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】概率分布曲线的认识、正态曲线的性质
【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可.
【详解】由、分布曲线关于轴对称，
则，
∵越大，正