第六章相关优化设计数学模型
及其求解中几个问题;前面介绍最优化方法，可直接用于仅含一个目标函数所谓“单目标函数最优化设计问题”，而在许多实际工程设计问题中，经常期望同时有几项设计指标都到达最优值，这就是所谓“多目标函数最优化问题”，其数学模型普通表示式为：;在上述多目标函数最优化问题中，各个目标f1（X），f2（X），…，fq（X）优化往往是相互矛盾，不能期望使它们极小点重合在一起，即不能同时到达最优解；甚至有时还会产生完全对立情况，即对一个目标函数是优点，对另一目标函数却是劣点。这就需要在各个目标最优解之间进行协调，相互间作出适当“让步”，方便取得整体最优方案，而不能像单目标函数最优化那样，经过简单比较函数值大小方法去寻优。由此也能够看出多目标函数最优化问题要比单目标函数最优化问题复杂得多，求解难度也较大。尤其应该指出是多目标函数最优化方法虽有不少，但有些方法效果并不理想，需要深入研究和完善。下面介绍几个多目标函数最优化方法。;一、统一目标法;在极小化“统一目标函数”f（X）过程中，为了使各个分目标函数能均匀一致地趋向各自最优值，可采取以下一些方法：;（2）目标规划法;（3）功效系数法;下图给出了几个功效系数函数曲线，其中图（a）表示与fj(x)值成正比功效系数ηj函数；图（b）表示与fj(x)值成反比功效系数ηj函数；图（C）表示fj（X）值过大和过小都不行功效系数函数。在使用这些函数时，还应作出对应要求。比如，要求ηj=0．3为可接收方案功效系数下限；0．3ηjO．4为边缘情况；O.4ηj0.7为效果稍差但可接收情况；0．7＜ηj1为效果很好情况。;
这种方法即使计算稍繁，但方法较为有效。因为它比较直观且调整轻易；其次是不论各个分目标量级及量纲怎样，最终都转化为0—1间数值，而且一旦有一项分目标函数值不理想（ηj=0）时，其总功效系数了必为零，表明设计方案不可接收，需重新调整约束条件或各分目标函数临界值；另外，这种方法易于处理有目标函数既不是愈大愈好、也不是愈小愈好情况。;（4）乘除法
;二、主要目标法;式中fj（X*）——为开始时极小化以外其它目标函数最优值预计值，然后在求得最优值后用最优值进行替换。;在实际工程最优化设计中，总能够依据基本要求，对各项设计指标（目标）作出正确预计和判断，并按其主要性进行排列，所以主要目标法在实际使用中并不困难。;
1、建立先进数学模型。依据设计要求，应用专业范围内现行理论和经验等，对优化对象进行分析。必要时，需要对传统设计中公式进行改进，并尽能够反应该专业范围内当代技术进步结果。
2、对结构诸参数进行分析，确定设计变量、设计常数等。
3、必要时对数学模型进行规范化（归一化、无量纲化），以消除诸组成项间因为量纲不一样等原因造成数量悬殊影响。;设计变量选择;二、数学模型尺度变换;比如目标函数;在实际工程设计中，目标函数通常含有更复杂形式，对其进行尺度变换本身就是一项相当困难工作。所以目标函数尺度变换使用并不广泛。但作为一个极好想法还是很有启发性。;;;;二者对数值改变灵敏度相差很大，这对优化是不利。比如，在采取罚函数方法时，二者在处罚项中作用相差很大，灵敏度相差很大，灵敏度高在极小化过程中将首先得到满足，而灵敏度低几乎得不到考虑。为防止这种不正常情况，只需对约束函数作以下规格化处理;§6-3优化结果分析和全局最优解问题;经过灵敏度分析，能够定量地表明该项设计能有多大裕量和安全系数。另外，经过分析也能够提供一个低灵敏度系统优化设计方案，使其最大程度地不受其它原因（如制造、装配、工艺等）干扰。;定义1对于问题(1)，设，若存在,使得对一切
，且，都有，则称X*是f(X)在D上局部极小值点（局部最优解）．尤其地当时，若，则称X*是f(X)在D上严格局部极小值点（严格局部最优解）．;多局部极小;当目标函数是凸函数、约束区域是凸集时，才能确保取得全局最优解。但工程实际问题往往不是凸规划问题，所以采取惯用优化方法普通得到是局部最优解。;一、机床主轴结构优化设计;在设计这根主轴时，有两个主要原因需要考虑。一是主轴自重；一是主轴伸出端c点挠度。;机床主轴优化设计目标函数为：;刚度满足条件，强度还有富裕，所以应力约束条件可
不考虑。边界约束条件为设计变量取值范围，即：;将全部约束函数规格化，主轴优化设计数学模型可表示为：;例1、曲柄摇杆机构再现已知运