§5.4平面向量中的综合问题
重点解读平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合.其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等.
题型一平面向量在几何中的应用
例1(1)设P是△ABC所在平面内一点，若AB·(CB+CA)=2AB·CP，且AB2=AC2-2BC·AP，则点P是△
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
(2)△ABC的外心O满足OA+OB+2OC=0，|AB|=2，则△ABC
A.2+22 B.1+22
思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题.
跟踪训练1(1)在△ABC中，若OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是△ABC的()
A.内心 B.外心
C.垂心 D.重心
(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED的长为.?
题型二和向量有关的最值问题
命题点1与平面向量基本定理有关的最值问题
例2已知OA，OB是两个夹角为120°的单位向量，如图所示，点C在以O为圆心的AB上运动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+
A.2 B.2 C.3 D.3
命题点2与数量积有关的最值问题
例3在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA·PB的取值范围是()
A.[-5，3] B.[-3，5]
C.[-6，4] D.[-4，6]
命题点3与模有关的最值问题
例4已知a，b是单位向量，a·b=0，且向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是()
A.[2-1，2+1] B.[2-1，2]
C.[2，2+1] D.[2-2，2+
思维升华向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围).
(2)利用基本不等式求最值(范围).
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围).
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值.
跟踪训练2(1)(2024·铜川模拟)在△ABC中，D是AB边上的点，满足AD=2DB，E在线段CD上(不含端点)，且AE=xAB+yAC(x，y∈R)，则x+2
A.3+22 B.4+23
C.8+43 D.8
(2)(2025·韶关模拟)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a+b|=1，则向量a与b的夹角为，(a+b)·(b-c)的最小值为.?
(3)(2024·会宁模拟)已知单位向量a，b满足|3a-4b|=m，则实数m的取值范围是.?
四心问题
一、引理(“奔驰”定理)
如图1，O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，则SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.
图1与奔驰汽车的标志(图2)类似，故该引理又称为“奔驰”定理.
证明如图，延长AO与BC相交于点D，
BDDC
记BDDC＝λ，则BD＝λDC，即OD－OB＝λ
所以－(1＋λ)OD＋OB＋λOC＝
又OD＝－|OD||
所以SASB
从而SAOA＋SBOB＋SCOC＝0.
推论若O是△ABC内的一点，且xOA＋yOB＋zOC＝0，则SA∶SB∶SC＝x∶y∶z.
二、三角形“四心”的定义、几何性质和向量特征
1.重心
(1)定义：三角形三条中线的交点.
(2)几何性质：三角形的重心是中线的三等分点，它到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.
(3)向量特征：
定理1G是△ABC的重心?GA＋GB＋
证明由引理得G是△ABC的重心?SA＝SB＝SC?GA＋GB＋
推论1P是△ABC所在平面内任意一点，PG＝13(PA＋PB＋
证明G是△ABC的重心?GA＋GB＋GC＝0?PA－PG
2.外心
(1)定义：三角形三条边的中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的外心到三个顶点的距离相等.
(3)向量特征：
定理2O是锐角△ABC的外心?OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.
证明由O是锐角△ABC的外心，得|OA|＝|OB|＝|OC|，
则∠AOB＝2∠ACB，∠BOC＝2∠BAC，∠COA＝2∠ABC，
于是SA∶SB∶SC＝sin2A∶sin2B∶sin2C，
根据引理，得到OAsin2A＋OBsin2B＋OCsin2C＝0.
反之亦然(证明略).
推论2P是锐角△ABC所在平面内任意一点，
PO＝PAsin2A＋PBsin2
推论2可仿照推论1进行证明.
3.内心
(1)定义：三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心.
(2)几何性质：三角形的内心到三边