提能训练练案[24]
A组基础巩固
一、单选题
1．(2023·河北秦皇岛月考)－sin133°cos197°－cos47°cos73°＝(A)
A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(3),3)
C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),2)
[解析]原式＝－sin(180°－47°)cos(180°＋17°)－cos47°cos(90°－17°)＝sin47°cos17°－cos47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝eq\f(1,2).
2．(2024·湖北枣阳模拟)若sinα＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0α\f(π,2)))，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝(B)
A．eq\f(3\r(3)－4,10) B．eq\f(3\r(3)＋4,10)
C．eq\f(3－4\r(3),10) D．eq\f(3＋4\r(3),10)
[解析]∵sinα＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0α\f(π,2)))，
∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(4,5)，
∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝sinα·coseq\f(π,6)＋cosαsineq\f(π,6)
＝eq\f(3,5)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3)＋4,10)，故选B．
3．在△ABC中，cosAcosBsinAsinB，则△ABC的形状是(C)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
[解析]依题意可知cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)0，所以－cosC0，所以cosC0，所以C为钝角．故选C．
4．已知α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，则sin2α等于(C)
A．－eq\f(3\r(10),10) B．eq\f(3\r(10),10)
C．－eq\f(3,5) D．eq\f(3,5)
[解析]解法一：因为α是第二象限角，且tanα＝－eq\f(1,3)，
所以sinα＝eq\f(\r(10),10)，cosα＝－eq\f(3\r(10),10)，
所以sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(10),10)))＝－eq\f(3,5).
解法二：sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(2tanα,1＋tan2α)＝－eq\f(3,5).
5．(2023·江西上高二中模拟预测)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2cos(π－α)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝(C)
A．－3 B．3
C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)
[解析]因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2cos(π－α)，所以－sinα＝－2cosα，即tanα＝2，
taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(tan\f(π,4)－tanα,1＋tan\f(π,4)tanα)＝eq\f(1－2,1＋2)＝－eq\f(1,3).故选C．
6．若直线x＋3y－4＝0的倾斜角为α，则eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)的值是(A)
A．eq\f(8,3) B．eq\f(8,5)
C．－eq\f(8,7) D．eq\f(8,15)
[解析]由已知可求tanα的值，进而利用三角函数恒等变换的应用即可求解．因为直线x＋3y－4＝0的倾斜角为α，所以tanα＝－eq\f(1,3)，则eq\f(cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(cos2α－sin2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,2tanα＋1)＝eq\f(1－\f(1,9),2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋1)＝eq\f(8,3).故选A．
7．若2cos2eq\b\