优化教学设计，落实“少教多学”
王晨戚有建
一、问题提出
著名教育家陶行知先生曾说过：“所谓教师之主导作用，重在善于启迪，使学生自奋其力，自致其知，非谓教师滔滔讲说，学生默默聆听.”其中深意就是“少教多学”的教学理念.“少教”即启发性地教、针对性地教、创造性地教和发展性地教；“多学”指学生在教师地引导下走向深度学习、积极学习、独立学习.因此教师要对教学课程有科学的设计，对教学进程有巧妙的干预和调适，才能达到少教多学的目的.本文以基本不等式第一课时为例，从“精教—少教—不教”三个阶段逐层推进，展示基本不等式课堂教学中的“少教多学”.
二、教学案例
教材分析：本节课选自苏教版（2019版）必修一第三章第二节，主要内容是基本不等式的证明与应用.此前学生已学过不等式的六个基本性质，对比较法、分析法、综合法会简单的应用.
（1）了解基本不等式包含的物理、代数、几何知识及生活背景，掌握基本不等式的证明方法，学会运用基本不等式解决一些函数的最值问题.
（2）培养学生数形结合、转化与化归的数学思想，体会换元代换的数学方法，发展学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等数学核心素养.
1．情境引入
妈妈买回来两个苹果，小明用自己的玩具天平来称，他先把苹果放在天平的一个盘子上，另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得质量为a，妈妈说不对.原来天平制造得不精确，天平两臂长略有不同（其他因素不计）.于是他将苹果调换到另一个盘子上，称得质量为b，并将二者“平均”一下得a+b2来表示苹果的质量.
问1：看完这段材料你有什么想法？
追问1：苹果实际质量是a+b2吗？（学生思考后发现并得出苹果实际质量为ab）
追问2：下面你想研究什么呢？
生：想研究a+b2是否等于ab？
设计意图：通過生活情境的引入，增加学生的探究兴趣.对情境中方案的“不合理”，学生能自主发现并用已有的物理知识解决，极大地满足他们学习的成就感，同时也找出了本节课的研究对象，发展了学生数学建模的核心素养.
2．课内探究
学生不难想到用特殊值代入探究，猜想ab≤a+b2.
问2：从特殊值入手得到的结论不严谨，你能不能严格地证明该猜想？
巡视学生的答案，选择几个投影.
生1：用比较法证明，但要注意前提是a，b0，和不等式取等的充要条件.
生2：用的是分析法，执果索因，探究每一步所需的充分条件，直至得到一个显然成立的式子，注意书写格式.而将分析法过程倒着书写即为综合法.
生3：选择先平方两数，消除根号，再用前三种方法证明，称为平方法.
设计意图：从特殊值入手得到猜想，此时学生会有不严谨的困惑，萌发出想要证明的想法.接着投影学生证明不等式的方法，既检验学生对前一节不等式内容的掌握情况，又让学生感受到知识的应用性.
师：下面我们来赏析不等式ab≤a+b2.
生：结构简洁，主要是和与积的关系，且只包含基本运算.
师：分析得很到位，我们把包含和的代数式a+b2称为a，b的算术平均数，包含积的代数式ab称为a，b的几何平均数.如图1，AB是圆O的直径，AC=a，CB=b，过C作CD⊥AB，你能找到两个数的几何表示？
生：由射影定理可知CD=ab，OD=a+b2.
问3：你有什么发现？
生：根据半弦不大于半径可以得到CD≤OD，也可以证明不等式成立.所以这个不等式还蕴含丰富的物理、代数、几何知识.
问4：不等式中的a，b可以代入数字，能代入代数式吗？对代数式有何要求？
生：可以，但要满足大于等于0.
师：通过对a，b的代换，可以得到无数个不等式，但它们的根基均为这个不等式，所以我们给它一个名称，叫做基本不等式.
设计意图：这里对不等式的赏析，引导学生从多个角度去理解不等式，让学生在感受到这个简单的不等式蕴含着丰富的知识背景的同时，还培养了其数形结合的数学思想.另外，该不等式还可以衍生出许多不等式，因此学生对于它的名称“基本不等式”会有更深层次的感悟.
2．3应用
问5：你能不能举出用代数式代换a，b的例子呢？
生：根据a，b大于等于0，用a2替换a，b2替换b，代入基本不等式，得到一个新的不等式.这里要注意a，b的范围已经变为R.
师：我也举个例子，用ba和ab分别替换a，b，请你们帮我分析以上内容.
生1：当两个分式大于0，即a，b同号时代入基本不等式得ba·ab≤ba+ab2，根据乘积是定值，有ba+ab≥2，当且仅当ba=ab，即a=b时，等号成立.
生2：老师，这两个代数式不就是互为倒数的关系吗？我直接用1a替换b不是更简洁？
师：非常好！同学们开始有自己的想法了，那也允许我在你的基础上再改编：用x替换a，用1x替换b，构造出函数y=x+1x，x∈（0，+∞），求此函数的最小值.
问6：你能将这个函数进行变式吗？
生1：改变定义域，如将条件x∈（0，+∞）改为x∈－∞，0.此时－x0，－1x0，故