关注知识生成渗透数学思想
邹勇泉袁小强
数学概念教学在数学教学中处于核心地位，概念学习过程是一个探究的过程.近期笔者有幸参加了江苏省第十七届“蓝天杯”课堂教学展评课，展示了一节“平均变化率”教学课，授课对象是普通高中高二学生，本文结合苏教版普通高中教科书《数学》选修（2-2）第一章“导数及其应用”第一课时“平均变化率”的教学设计谈谈关注知识生成，渗透数学思想，帮助学生构建探究一般数学概念的方法.
本课时的内容是平均变化率，变化率包括平均变化率和瞬时变化率，平均变化率是研究瞬时变化率和导数的基础，经历位移的变化、速度的变化、曲线的上升与下降等具体想象，抽象出研究函数的改变量和变化率等数学理论.通过实际背景和应用实例引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从而认识和理解导数的概念和本质.
一、课堂教学实录
1.创设情境，问题导入
世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼.
情境1播放歌曲《可可托海的牧羊人》，《Mojito》.感受这两首春晚热门歌曲旋律节奏有何不同？
（初步感受节奏变化不一样，第一首节奏变化慢，第二首节奏变化快）
情境2某市4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日的最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”
该市3月18日到4月18日的日最高气温变化曲线，如图1：
设计意图：通过图片、音乐、文字、表格、图象展示，让学生感受到生活中存在大量“变化快慢的量”，激发学生的学习兴趣，体现数学教学的美育价值.
2.新课探究，学生活动
问题1你能说出图1中A、B、C三点的坐标所表示意义吗？
问题2你可以分别计算AB、BC段温差吗？可以用数学语言解释一下“天气热得太快了”吗？（从数与形两方面）
小结：气温差不能反映气温变化的快慢程度.
问题3如何“量化”（数学化）曲线AB、BC的陡峭程度呢？（小组合作讨论）
生：不好直接研究曲线AB、BC的陡峭程度，只能“大致”研究.
追问：怎么“大致”研究呢？
生：只能研究线段AB、BC的陡峭程度.
追问：如图2，如何研究线段AB、BC的陡峭程度呢？我们前面研究过如何刻画线段或者直线的陡峭程度吗？
生：斜率.连结AB两点的直线斜率为kAB=18.6－3.5/32－1=151/310；连结BC两点的直线斜率为kBC=33.4－18.6/34－32=7.4.
小结：33.4－18.6/34－32=7.4就表示时间在“第1天到第32天”这段时间内气温的平均变化率.
问题4你能用数学的语言来表达一下：曲线上升的陡峭程度吗？（从数与形两方面）
设计意图：通过问题串的设置，在自主探究、小组合作、师生互动中，抓住学生有价值的知识生成，展开教学.通过问题2引起学生的认知冲突，通过讨论，让学生得到结论：气温差不能反映气温变化的快慢程度.通过问题3的讨论，找出研究“陡峭程度”的数学方法，会用数学语言来表达世界，为得出函数平均变化率概念提供了案例基础.
3.数学建构，形成概念
我们通过分析气温的变化的图象，研究了气温的变化情况，思考：
问题5已知函数y=f（x），从x1到x2的平均变化率如何计算？由此，你能总结出求函数平均变化率的一般步骤吗？
一般地，函数f（x）在区间［x1，x2］上的平均变化率为f（x2）－f（x1）/x2－x1.
问题6函数平均变化率的几何意义是什么？
如图3，平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线的陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.用平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”，但应注意当x2－x1很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”.
设计意图：从实例探究抽象出一般性函数问题，通过问题5抽象概括出函数平均变化率的一般定义，问题6通过分析函数和图象两个角度理解平均变化率的意义.
4.数学运用，深化概念
课堂练习1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图5所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率，由此你能得到什么结论？
例1如图6，水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，ts后容器甲中水的体积V（t）=5e－0.1t（单位：cm3），试计算第一个10s内V的平均变化率.
课堂练习2：已知函数f（x）=x2，分别计算函数f（x）在区间［1，3］，［1，2］，［1，1.1］，［1，1.001］上的平均变化率.
例2已知函数f（x）=2x+1，g（x）=－2x，分别计算函数f（x）及g（x）在区间［－3，－1］，［0，5］上的平均变化率.
思考：从上例中，你能发现一次函数y=kx+b在区间［m，n］上的平均变化率有什么特点吗？
设计意图：练习1和练习2是函数平均变化率的简单应用，检验学生在不同情境中