哈六中2025届高三第二次模拟考试
数学试题
时间：120分钟满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合，，则（）
A.B.C.D.
2.若复数满足（其中i是虚数单位），则的虚部为（）
A.B.C.D.
3.设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（）
A.B.C.D.
4.已知，，则（）
A.B.C.D.
5.已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（）
A.B.2C.D.1
6.定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数
，若实数满足不等式，则的取值范围为（）
A.B.C.D.
7.已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，点为抛物线
上一动点，且点在直线上的投影为，则的最小值为（）
A.B.C.D.
第1页/共5页
8.如图所示，将绘有函数部分图象的纸片沿轴折成钝二面角，
此二面角的平面角为，此时，之间的距离为，则（）
A.B.C.D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法中正确的是（）
A.已知随机变量，，则
B.根据小概率值独立性检验推断两个分类变量与是否有关联，经计算
，可以推断两个变量有关联，该推断犯错误的概率不超过0.05
C.一个袋子中有大小和质地完全相同的6个球（标号为1，2，3，4，5，6），从袋中不放回地依次随机摸
出2个球.设事件“第一次摸到标号小于4的球”，事件“第二次摸到标号小于4的球”，则与相
互独立
D.甲、乙两组数据，甲组有8个数据，平均数为210，方差为1，乙组有12个数据，平均数为200，方差
为1，则甲乙两组数据组成的总样本的方差为25
10.已知平行四边形中，为边上的一列点，连接交于，点
满足，其中数列的首项为1，数列满足，数列的前
项和为，实数满足对恒成立（）
A.是等比数列B.C.D.
11.平面曲线曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度.曲率半
径主要是用来描述曲线上某处曲线弯曲变化的程度.如：圆越小，曲率越大；圆越大，曲率越小.定义函数
第2页/共5页
的曲率函数（其中是的导数，是的导数），函数在
处的曲率半径为此处曲率的倒数，以下结论正确的是（）
A.函数在无数个点处的曲率为1
B.函数，则曲线在点与点处的弯曲程度不相同
C.函数的曲率恒为1
D.若函数在与处的曲率半径相同，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是______.
13.已知椭圆的上顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，
的斜率之积为，则椭圆的离心率为______.
14.已知四棱柱中，底面是边长为菱形且，底面
，，点是四棱柱表面上的一个动点，且直线与所成的角为，则
点的轨迹长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）已知是边上的点，，，求的最小值.
16.如图，在五面体中，四边形是矩形，，，
，.
第3页/共5页
（1）证明：平面平面；
（2）求五面体的体积；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
17.已知函数，，其中为自然对数底数.
（1）若为的极值点，求的单调区间和最大值；
（2）是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
18已知直线与双曲线及其渐近线分别交于点，和点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）若，过双曲线上一点向双曲线作切线，，其斜率分别为，，问
是否存在这样的，使得为定值？若存在，求出的值及定值；若不存在，请说明理由.
19.云南花卉产业作为云南全力打造世界一流“绿色食品牌”的重点产业之一．从起步发展至今仅四十多年
的时间，取得了令人瞩目的成绩．目前云南已成为全球公认